JK=Ramanujan (1)

東北大学の材料科学高等研究所助教の高橋悠樹氏が仙台で出会った知り合いの娘さん（おそらく高校生）がラマヌジャン級の天才ではないかと注目を浴びています（2019年7月）。ここで彼女が発見したとされる数式を幾つか紹介します。
既に知られているものがたくさんあるようですが、彼女が独自に発見したようです。どのようにして見つけたのかは分かっていませんが、もしラマヌジャン級の数学力をもっているのであれば、どのような理論に基づいて数式を見つけたかを自分で説明できないか、説明できても他者には意味不明か、あるいは明らかに間違った説明と見なされる可能性があります。
ネット上では彼女の能力を疑う意見も散見されますが、ラマヌジャンの才能を見出したハーディは、信じがたい公式を捏造する詐欺師よりも、偉大な数学者の方が現実には存在し得る、と述べているようです。私もこの意見を支持します。

• $3\sqrt{375}=3375$ , $9\sqrt{1125}=91125$

• ${\displaystyle \frac{20!7!}{6!21!}=\frac{207}{621}}$

• $90\ast 88=22\ast 20\ast 18$

• $57\ast 56\ast 55=22\ast 21\ast 20\ast 19$

この種の数式は、証明することよりも発見することの方が難しい場合があります。発見したあとで説明をつけることはそれほど難題ではありません。また、発見した人は何か特定の理論を使って発見したとは限りません。以下にこれらの数式について解説を試みますが、数式の発見に比べれば遥かにたやすく、とるに足らない作業です。

$a^{2}b=a\ast {10}^N+b$を$a$についての2次方程式とみると、判別式$D={10}^{2N}+4b^2$は平方数$c^2$となる必要がある。
ピタゴラスの三つ組は一般に、$k(m^2-n^2),2kmn,k(m^2+n^2)$で表すことができる。したがって、
${10}^N=k(m^2-n^2)$
$2kmn=2b$
$k(m^2+n^2)=c$
として、解の公式より、$a={\displaystyle \frac{{10}^N\pm c}{2b}=\frac{k(m^2-n^2)\pm k(m^2+n^2)}{2kmn}={\displaystyle \frac{m}{n},{\displaystyle \frac{-n}{m}}}}$となる。$a$は正の整数なので、$a={\displaystyle \frac{m}{n}}$である。$m=an$より、${10}^N=k((an{)}^2-n^2)=k{n}^2(a^2-1)$となるので、$a^2-1=2^x{5}^y$と表せる。
$a^n-1=p^m$を満たす$2$以上の正の整数$a,n,p,m$($p$は素数)は、$3^2-1=2^3$のみである (マスターデーモン) 。したがって$x$は正である。
$a+1,a-1$の最大公約数は$1,2$のいずれかである。
$a+1,a-1$が互いに素のとき、$a^2-1=2^x{5}^y$より、$a+1+a-1=2^x+5^y$となって矛盾する。$a+1,a-1$の最大公約数は$2$なので、以下の場合を考えればよい。

1. $a+1=2^{x-1}{5}^y$ かつ $a-1=2$　この場合 $a=3$
2. $a+1=2\ast 5^y$ かつ $a-1=2^{x-1}$　この場合 $a=9$
3. $a-1=2\ast 5^y$ かつ $a+1=2^{x-1}$　この場合 $a=3$

以下の解が得られる。（他にもある。）
$3\sqrt{375}=\sqrt{3375}$ と $9\sqrt{1125}=\sqrt{91125}$ である。