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ポアソン・イェンゼンの公式

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はじめに

　この記事ではPoisson-Jensenの公式にてついて解説していきます。
　ポアソン・イェンゼンの公式にはいくつかの形がありますがこの記事では最終的に以下の主張を示します。

ポアソン・イェンゼンの公式ver.3

　 $| z | \leq R$ 上の正則関数 $f$ が $| z | = R$ において零点を持たないとき
$\frac{f^{'} (z)}{f (z)} = \sum_{\begin{matrix} α : zeros \\ | α | < R \end{matrix}} (\frac{1}{z - α} + \frac{\overset{―}{α}}{R^{2} - \overset{―}{α} z}) + \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{2 R e^{i θ}}{(R e^{i θ} - z)^{2}} \log | f (R e^{i θ}) | d θ$
が成り立つ。ただし $α$ は $f$ の絶対値 $R$ 未満の零点全体を(重複度込みで)渡るものとする。

　一体これが何に使えるんだといった感じですが零点と円周上の振る舞いによって記述されるこの式は複素解析と相性がいいのです。具体的には次回の記事：アダマールの因数分解定理の証明において使うことになります。
　そして上でver.3と書いた通りver.1,ver.2の主張を通してver.3を示していくことになります。

補題

　 $| z | < R$ に対して
$L_{z} (ω) = \frac{R^{2} (z - ω)}{R^{2} - \overset{―}{z} ω}$
とおくと $ω$ が円 $| ω | = R$ を反時計回りに一周するとき $L_{z} (ω)$ も同じ経路をたどる。

　 $| ω | = R$ において
$L_{z} (ω) = \frac{\overset{―}{ω} ω (z - ω)}{\overset{―}{ω} ω - \overset{―}{z} ω} = - ω \frac{1 - z / ω}{1 - \overset{―}{z} / \overset{―}{ω}}$
と表せるので
$\begin{aligned} | L_{z} (ω) | & = | ω | = R \\ \arg L_{z} (ω) & = \arg ω + 2 \arg (1 - \frac{z}{ω}) + π \end{aligned}$
が成り立つ。
　よって $| z | < R$ に注意すると $ω$ が円 $| ω | = R$ を反時計回りに一周すれば $L_{z} (ω)$ も円 $| ω | = R$ を反時計回りに一周することになる。

　 $| ω | = R$ において $L_{z} (ω) = R e^{i θ}$ とおくと
$\frac{d ω}{ω} = i \frac{R^{2} - | z |^{2}}{| R e^{i θ} - z |^{2}} d θ$
が成り立つ。

　 $ζ = L_{z} (ω) = R e^{i θ}$ とおいたとき
$ω = L_{z}^{- 1} (ζ) = \frac{R^{2} (z - ζ)}{R^{2} - \overset{―}{z} ζ}$
および $R^{2} = ζ \overset{―}{ζ}$ に注意すると
$\begin{aligned} \frac{d ω}{ω} & = (\frac{- 1}{z - ζ} - \frac{- \overset{―}{z}}{R^{2} - \overset{―}{z} ζ}) d ζ \\ = (\frac{ζ}{ζ - z} + \frac{\overset{―}{z}}{\overset{―}{ζ} - \overset{―}{z}}) \frac{d ζ}{ζ} \\ = \frac{| ζ |^{2} - | z |^{2}}{| ζ - z |^{2}} \cdot \frac{d ζ}{ζ} \\ = i \frac{R^{2} - | z |^{2}}{| R e^{i θ} - z |^{2}} d θ \end{aligned}$
を得る。

　 $ω$ が円 $| ω | = R$ の内部全体を動くとき $L_{z} (ω)$ も同じ領域全体を動く。

　最大値の原理より
$max_{| ω | \leq R} | L_{z} (ω) | = max_{| ω | = R} | L_{z} (ω) | = R$
なので $ω = L_{z} (L_{z} (ω))$ に注意すると
$| ω | \leq R ⟺ | L_{z} (ω) | \leq R$
が成り立ち、また $L_{z}$ は全単射( $L_{z}^{- 1} = L_{z}$ )であることから主張を得る。

Ver.1

ポアソン・イェンゼンの公式ver.1

　 $| z | \leq R$ において零点を持たない正則関数 $f$ に対し、 $| z | < R$ において
$\log | f (z) | = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{R^{2} - | z |^{2}}{| R e^{i θ} - z |^{2}} \log | f (R e^{i θ}) | d θ$
が成り立つ。

　仮定及び補題4から $\log f (L_{z} (ω))$ は $| ω | \leq R$ において正則なので
$\log f (z) = \log f (L_{z} (0)) = \frac{1}{2 π i} \int_{| ω | = R} \log f (L_{z} (ω)) \frac{d ω}{ω}$
が成り立ち、また $L (ω) = R e^{i θ}$ とすることで補題2,3から
$\log f (z) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{R^{2} - | z |^{2}}{| R e^{i θ} - z |^{2}} \log f (R e^{i θ}) d θ$
となるので、この実部を取ることで主張を得る。

Ver.2

ポアソン・イェンゼンの公式ver.2

　少なくとも $| z | = R$ において極も零点も持たない有理型関数 $f$ について、 $| z | < R$ において
$\log | f (z) | = \sum_{\begin{matrix} α : z e r o s \\ | α | < R \end{matrix}} \log | \frac{R (z - α)}{R^{2} - \overset{―}{α} z} | - \sum_{\begin{matrix} β : p o l e s \\ | β | < R \end{matrix}} \log | \frac{R (z - β)}{R^{2} - \overset{―}{β} z} | + \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{R^{2} - | z |^{2}}{| R e^{i θ} - z |^{2}} \log | f (R e^{i θ}) | d θ$
が成り立つ。ただし $α, β$ はそれぞれ $f$ の絶対値 $R$ 未満の零点、極全体を(重複度込みで)渡るものとする。

　 $| γ | < R$ に対し
$B_{γ} (z) = \frac{L_{γ} (z)}{R} = \frac{R (z - γ)}{R^{2} - \overset{―}{γ} z}$
とし
$g (z) = \frac{\sum_{| β | < R} B_{β} (z)}{\sum_{| α | < R} B_{α} (z)} f (z)$
とおくと $g (z)$ は $| z | < R$ において極も零点も持たないのでVer.1が適用でき、補題2から $| z | = R$ において $| B_{γ} (z) | = 1$ つまり
$\log | g (R e^{i θ}) | = \log | f (R e^{i θ}) |$
が成り立つことに注意すると
$\begin{aligned} \log | g (z) | & = - \sum_{| α | < R} \log | B_{α} (z) | + \sum_{| β | < R} \log | B_{β} (z) | + \log | f (z) | \\ = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{R^{2} - | z |^{2}}{| R e^{i θ} - z |^{2}} \log | f (R e^{i θ}) | d θ \end{aligned}$
を得、これを適当に移項することで主張を得る。

Ver.3

ポアソン・イェンゼンの公式ver.3(再掲)

　単純な式変形により
$\frac{R e^{i θ} + z}{R e^{i θ} - z} = \frac{R^{2} - | z |^{2}}{| R e^{i θ} - z |^{2}} + \frac{R (z e^{- i θ} - \overset{―}{z} e^{i θ})}{| R e^{i θ} - z |^{2}}$
つまり
$\frac{R^{2} - | z |^{2}}{| R e^{i θ} - z |^{2}} = Re (\frac{R e^{i θ} + z}{R e^{i θ} - z})$
であることに注意して $f$ にVer.2を適用すると
$Re (\log f (z)) = Re (\sum_{| α | < R} \log \frac{R (z - α)}{R^{2} - \overset{―}{α} z} + \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{R e^{i θ} + z}{R e^{i θ} - z} \log | f (R e^{i θ}) | d θ)$
が成り立つ。
　いま正則関数 $h$ に対し $h^{'} = (\partial_{x} - i \partial_{y}) Re h$ が成り立つことに注意して上式に $\partial_{x} - i \partial_{y}$ を作用させることで主張を得る。