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アダマールの因数分解定理

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はじめに

　この記事ではHadamardの因数分解定理について解説していきます。
　アダマールの因数分解定理はワイエルシュトラスの因数分解定理よりも強い主張であり、 ${p_{n}}$ や $g$ として具体的にどういうものが取れるのかを保証してくれるものとなっています。
　具体的には以下の主張のことをアダマールの因数分解定理と言います。

アダマールの因数分解定理

　 $f$ を位数有限な整関数、 ${a_{n}}$ を $f$ の重複度込みの $0$ でない零点全体とし、 $f$ の位数を $λ$ 、 ${a_{n}}$ の種数、指数をそれぞれ $p, v$ とおくとある多項式 $g$ があって
$f (z) = z^{m} e^{g (z)} \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - \frac{z}{a_{n}}) \exp (\sum_{k = 1}^{p} \frac{1}{k} (\frac{z}{a_{n}})^{k})$
が成り立つ。特に $f$ の種数 $h = max {p, \deg g}$ に対して $h \leq λ \leq h + 1$ が成り立つ。

　ここで整関数 $f$ の位数、列 ${a_{n}}$ の種数、指数とは次のように定義されるもののことを言います。

$λ = \underset{r \to \infty}{lim sup} \frac{\log \log max_{| z | = r} | f (z) |}{\log r}$
によって定まる数 $λ$ を $f$ の位数
$\begin{aligned} p & = min {q \in Z | \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{| a_{n} |^{q + 1}} < \infty} \\ v & = inf {x \in R | \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{| a_{n} |^{x}} < \infty} \end{aligned}$
によって定まる数 $p, v$ をそれぞれ ${a_{n}}$ の種数、指数と言う。
　また $f$ が位数有限であるとは位数 $λ$ が有限であることをいう。

　アダマールの因数分解定理の嬉しさは $f$ が有限位数であるときワイエルシュトラスの因数分解定理における ${p_{n}}$ が定数列として取れること、 $g$ が多項式として取れること、そして $p, \deg g$ が取りうる最小値が具体的に $f$ の位数 $λ$ にほぼ等しいことを保証してくれることにあります。

具体例

　例えば $\sin x$ について考えると
$max_{| z | = r} | \sin z | \leq \frac{max_{| z | = r} | e^{i z} | + max_{| z | = r} | e^{- i z} |}{2} = \frac{e^{r} + e^{r}}{2} = e^{r}$
と評価できるのでその位数に関して
$λ \leq \underset{r \to \infty}{lim sup} \frac{\log \log e^{r}}{\log r} = 1$
が成り立ちます。つまり $h = 0, 1$ であり、零点の種数は $p = 1$ と求まることに注意すると $h = 1$ と決定できます。
　よってある一次関数 $g (x) = a + b x$ があって
$\begin{aligned} \sin x & = x e^{a + b x} \prod_{\begin{array}{c} n = - \infty \\ n \neq 0 \end{array}}^{\infty} (1 - \frac{x}{π n}) e^{\frac{x}{π n}} \\ = x e^{a + b x} \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - \frac{x^{2}}{π^{2} n^{2}}) \end{aligned}$
が成り立ち、 $\sin x$ の奇関数性から $b = 0$ 、 $lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ から $a = 0$ と求まるので
$\sin x = x \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - \frac{x^{2}}{π^{2} n^{2}})$
と $\sin x$ の因数分解公式を完全に決定することができます。
　このようにアダマールの因数分解定理は整関数を因数分解した形で議論するときに非常に役に立つ武器となります。

仮定の簡略化

　 $f$ が $z = 0$ において位数 $m$ の零点を持つとき、 $f (z) / f^{(m)} (0) z^{m}$ を改めて $f$ とおくことで $f (0) = 1$ としてよい。このとき
$\underset{r \to \infty}{lim sup} \frac{\log \log (| f^{(m)} (0) | r^{m})}{\log r} = 0$
から位数は変化しないことに注意する
　また $lim_{n \to \infty} | a_{n} | = \infty$ であるものとし、適当に並べ替えることで $| a_{n} |$ は単調増加であるものとしてよい。

$v \leq λ$ であること

$v = \underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{\log n}{\log | a_{n} |}$
が成り立つ。

　定義より $v$ はディリクレ級数
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{| a_{n} |^{s}} = \sum_{n = 1}^{\infty} 1 \cdot e^{- s \log | a_{n} |}$
の収束軸であるので収束軸の公式より主張を得る。

　 $v \leq λ$ が成り立つ。

　 $| a_{N} | < | a_{N + 1} |$ なる $N$ を任意にとり $f (0) = 1$ の仮定に注意してポアソン・イェンゼンの公式 ver.2を $R = 3 | a_{N} |, z = 0$ について適用すると
$\log | f (0) | = \sum_{| a_{n} | < 3 | a_{N} |} \log | \frac{a_{n}}{3 a_{N}} | + \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \log | f (3 | a_{N} | e^{i θ}) | d θ = 0$
が成り立つ( $f$ が $| z | = 3 | a_{N} |$ において零点を持つときは $R = 3 | a_{N} | + ε$ と少しずらして考える)。
　いま $\log | a_{n} / 3 a_{N} | < 0$ および $| a_{n} |$ の単調増加性の仮定から
$\sum_{| a_{n} | < 3 | a_{N} |} \log | \frac{a_{n}}{3 a_{N}} | \leq \sum_{| a_{n} | \leq | a_{N} |} \log | \frac{a_{n}}{3 a_{N}} | \leq \sum_{n = 1}^{N} \log \frac{1}{3} = - N \log 3$
と評価でき、また
$\frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \log | f (3 | a_{N} | e^{i θ}) | d θ \leq \log max_{| z | = 3 | a_{N} |} | f (z) |$
が成り立つので
$0 \leq - N \log 3 + \log max_{| z | = 3 | a_{N} |} | f (z) |$
が得られる。
　この対数を取って $\log | a_{N} |$ で割ると、
$\frac{\log N}{\log | a_{N} |} + \frac{\log \log 3}{\log | a_{N} |} \leq \frac{\log \log max_{| z | = 3 | a_{N} |} | f (z) |}{\log 3 | a_{N} | - \log 3}$
となり、これの $N \to \infty$ 上極限を取ることで $v \leq λ$ を得る。

$g$ が多項式であること

　ワイエルシュトラスの基本因子を
$E_{p} (z) = (1 - z) \exp (\sum_{k = 1}^{p} \frac{1}{k} z^{k})$
と定め
$P (z) = \prod_{n = 1}^{\infty} E_{p} (\frac{z}{a_{n}})$
とおく。このとき $p$ の取り方から $P (z)$ は整関数を定めることに注意する(そのことはこの記事の補題4として確認している)。

$g (z) = \log \frac{f (z)}{P (z)}$
および $h^{'} = ⌊ λ ⌋$ とおくと $g^{(h^{'} + 1)} (z) = 0$ が成り立つ。

　ポアソン・イェンゼンの公式 ver.3から
$(\log f (z))^{'} = \sum_{| a_{n} | < R} (- \frac{1}{a_{n} - z} + \frac{\overset{―}{a_{n}}}{R^{2} - \overset{―}{a_{n}} z}) + \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{2 R e^{i θ}}{(R e^{i θ} - z)^{2}} \log | f (R e^{i θ}) | d θ$
が成り立つので、これを $h^{'}$ 階微分することで
$\begin{aligned} (\log f (z))^{(h^{'} + 1)} = - h^{'}! \sum_{| a_{n} | < R} \frac{1}{(a_{n} - z)^{h^{'} + 1}} & + h^{'}! \sum_{| a_{n} | < R} \frac{{\overset{―}{a_{n}}}^{h^{'} + 1}}{(R^{2} - \overset{―}{a_{n}} z)^{h^{'} + 1}} \\ + \frac{(h^{'} + 1)!}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{2 R e^{i θ}}{(R e^{i θ} - z)^{h^{'} + 2}} \log | f (R e^{i θ}) | d θ \end{aligned}$
を得る。
　また命題3より
$p \leq v \leq λ < ⌊ λ ⌋ + 1 = h^{'} + 1$
となることに注意すると
$\begin{aligned} {(\log E_{p} (\frac{z}{a_{n}}))}^{(h^{'} + 1)} & = {(\log (1 - \frac{z}{a_{n}}) + \sum_{k = 1}^{p} \frac{1}{k} {(\frac{z}{a_{n}})}^{k})}^{(h^{'} + 1)} \\ = - h^{'}! \frac{1}{(a_{n} - z)^{h^{'} + 1}} \end{aligned}$
つまり $R \to \infty$ において
$- h^{'}! \sum_{| a_{n} | < R} \frac{1}{(a_{n} - z)^{h^{'} + 1}} \to (\log P (z))^{(h^{'} + 1)}$
が成り立つので他の二項が $0$ に収束することを示せばよい。

$lim_{R \to \infty} \sum_{| a_{n} | < R} \frac{{\overset{―}{a_{n}}}^{h^{'} + 1}}{(R^{2} - \overset{―}{a_{n}} z)^{h^{'} + 1}} = 0$
が成り立つ。

　各 $z$ に対して $\sqrt{| a_{1} z |}, | z | < | a_{N} |$ および $| a_{N} | < | a_{N + 1} |$ なる $N$ を取り
$R = | a_{N} | + ε (0 < ε < | a_{N + 1} | - | a_{N} |)$
とおく。このとき
$\begin{aligned} | \sum_{| a_{n} | < R} \frac{{\overset{―}{a_{n}}}^{h^{'} + 1}}{(R^{2} - \overset{―}{a_{n}} z)^{h^{'} + 1}} | & = | \sum_{| a_{n} | < R} \frac{1}{(\frac{(| a_{N} | + ε)^{2}}{a_{n}} - z)^{h^{'} + 1}} | \\ \leq \sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{(| a_{N} | - | z |)^{h^{'} + 1}} = \frac{N}{(| a_{N} | - | z |)^{h^{'} + 1}} \end{aligned}$
と評価でき、また $v < h^{'} + 1$ より
$\begin{aligned} lim_{N \to \infty} \frac{N}{| a_{N} |^{h^{'} + 1}} & = lim_{N \to \infty} \frac{1}{| a_{N} |^{h^{'} + 1}} \exp (\log | a_{N} | \cdot \frac{\log N}{\log | a_{N} |}) \\ \leq lim_{N \to \infty} \frac{1}{| a_{N} |^{h^{'} + 1}} \exp (\log | a_{N} | \cdot \underset{N \to \infty}{lim sup} \frac{\log N}{\log | a_{N} |}) \\ = lim_{N \to \infty} \frac{| a_{N} |^{v}}{| a_{N} |^{h^{'} + 1}} = 0 \end{aligned}$
が成り立つので主張を得る。

$lim_{R \to \infty} \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{2 R e^{i θ}}{(R e^{i θ} - z)^{h^{'} + 2}} \log | f (R e^{i θ}) | d θ = 0$
が成り立つ。

$| \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{2 R e^{i θ}}{(R e^{i θ} - z)^{h^{'} + 2}} \log | f (R e^{i θ}) | d θ | \leq \frac{2 R}{(R - | z |)^{h^{'} + 2}} \log max_{| z | = R} | f (z) |$
と評価でき、上と同様にして $λ < h^{'} + 1$ から
$lim_{R \to \infty} \frac{1}{R^{h^{'} + 1}} \log max_{| z | = R} | f (z) | \leq lim_{R \to \infty} \frac{R^{λ}}{R^{h^{'} + 1}} = 0$
が成り立つので主張を得る。

$h \leq λ \leq h + 1$ であること

　ひとまず命題4から以下の主要な主張は示されたことになる。

　ある高々 $h^{'}$ 次の多項式 $g$ が存在して $f (z) = e^{g (z)} P (z)$ が成り立つ。

　あとは残りの主張 $h \leq λ \leq h + 1$ を示そう。

$E_{p} (z)$ の評価

　任意の $p \leq s \leq p + 1$ に対しある $M$ が存在して
$| E_{p} (z) | < \exp (M | z |^{s})$
が成り立つ。

　 $| z | < \frac{1}{2}$ のときは
$\begin{aligned} \log | E_{p} (z) | & = Re (- \sum_{k = p + 1}^{\infty} \frac{1}{k} z^{k}) \\ < \sum_{k = p + 1}^{\infty} | z |^{k} = \frac{| z |^{p + 1}}{1 - | z |} \leq 2 | z |^{p + 1} \leq 2^{} | z |^{s} \end{aligned}$
と評価でき、 $| z | \geq \frac{1}{2}$ のときは
$\begin{aligned} \log | E_{p} (z) | & = Re (\log (1 - z) + \sum_{k = 1}^{p} \frac{1}{k} z^{k}) \\ < \log (1 + | z |) + \sum_{k = 1}^{p} 2^{- k} | 2 z |^{k} \\ \leq 2^{- 1} | 2 z | + \sum_{k = 1}^{\infty} 2^{- k} | 2 z |^{p} \\ \leq (2^{- 1} + 1) | 2 z |^{p} < 3 \cdot 2^{p - 1} | z |^{s} \end{aligned}$
と評価できるので $M = 3 \cdot 2^{p - 1}$ とおけばよい。

　任意の $ε > 0$ に対しある $R > 0$ が存在して $| z | > R$ において
$| \prod_{n = 1}^{\infty} E_{p} (\frac{z}{a_{n}}) | < \exp (| z |^{v + ε})$
が成り立つ。

　 $p \leq v \leq p + 1$ に注意すると任意の $0 \leq ε^{'} \leq min {ε, p + 1 - v} (ε^{'} \neq ε)$ に対して
$| \prod_{n = 1}^{\infty} E_{p} (\frac{z}{a_{n}}) | < \exp (M \sum_{n = 1}^{\infty} {| \frac{z}{a_{n}} |}^{v + ε^{'}})$
が成り立ち、 $v$ の定義から $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |^{- (v + ε^{'})}$ は収束するので $| z |$ を十分大きくとることで
$M \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{| a_{n} |^{(v + ε^{'})}} < | z |^{ε - ε^{'}}$
とすると
$| \prod_{n = 1}^{\infty} E_{p} (\frac{z}{a_{n}}) | < \exp (| z |^{ε - ε^{'}} | z |^{v + ε^{'}}) = \exp (| z |^{v + ε})$
を得る。

各定数の関係

　 $λ = max {v, \deg g}$ が成り立つ。

　命題9に注意すると $| z | \to \infty$ において
$\log | e^{g (z)} | = O (| z |^{\deg g}), \log | P (z) | = O (| z |^{v + ε})$
が成り立つので $f (z) = e^{g (z)} P (z)$ より
$\log | f (z) | = O (| z |^{max {\deg g, v + ε}})$
と評価できる。
　つまり $ε$ の任意性も踏まえると $λ \leq max {\deg g, v}$ が成り立つが、命題3より $v \leq λ$ 、命題4より $\deg g \leq h^{'} \leq λ$ であったので $λ \geq max {\deg g, v}$ 、つまり $λ = max {v, \deg g}$ となることがわかる。

　 $h \leq λ \leq h + 1$ が成り立つ。

$h = max {p, \deg g}, λ = max {v, \deg g}$
に注意して3つの場合に分けて示す。

$\deg g \leq p \leq v$ のとき
$h = p, λ = v$ となるので、 $p, v$ の取り方から $p \leq v \leq p + 1$ であることからわかる。
$p \leq \deg g \leq v$ のとき
$h = \deg g, λ = v$ となるので、 $\deg g \leq v \leq p + 1 \leq \deg g + 1$ であることからわかる。
$p \leq v \leq \deg g$ のとき
$h = λ = \deg g$ となる。