一般化の証明02
はじめに
$$\displaystyle\sum_{a_1,\ldots,a_n>0}\frac1{\displaystyle\prod_{k=1}^na_k\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k }=\zeta(n+1)\Gamma(n+1) $$
この一般化の証明を書きます。
$n=3$の場合を
https://mathlog.info/articles/142
こちらの記事の中でも扱っていますが、同じ方法で証明を書いていきます。
証明
$ \begin{align} &\sum_{a_1,\ldots,a_n>0}\frac1{\displaystyle\prod_{k=1}^na_k\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k }\\ =&\sum_{a_1,\ldots,a_n>0}\frac1{\displaystyle\prod_{k=1}^na_k}\int_0^1x^{\displaystyle\Sigma_{k=1}^na_k-1}dx\\ =&\int_0^1 \frac1x\sum_{a_1,\ldots,a_n>0}\frac{x^{\displaystyle\Sigma_{k=1}^na_k}}{\displaystyle\prod_{k=1}^na_k}dx\\ =&\int_0^1 \frac{(-\log(1-x))^n}xdx\\ =&\int_0^1 (-\log x)^n\sum_{k=1}^\infty x^{k-1} dx\\ =&\sum_{k=1}^\infty \int_0^\infty t^ne^{-kt}dt\\ =&\zeta(n+1)\Gamma(n+1)\\ \end{align} $
より、$\displaystyle\sum_{a_1,\ldots,a_n>0}\frac1{\displaystyle\prod_{k=1}^na_k\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k }=\zeta(n+1)\Gamma(n+1)$が示されました。□
おわりに
https://mathlog.info/articles/156
こちらの記事とかなり似ているので、併せて読んでみてください。