一般化の証明02

はじめに

この一般化の証明を書きます。
$n=3$の場合を
https://mathlog.info/articles/142
こちらの記事の中でも扱っていますが、同じ方法で証明を書いていきます。

証明

$\begin{array}{rl}& \sum _{a_1,\dots ,a_n>0}\frac{1}{{\displaystyle \prod _{k=1}^n{a}_k{\displaystyle \sum _{k=1}^n{a}_k}}}\\ =& \sum _{a_1,\dots ,a_n>0}\frac{1}{{\displaystyle \prod _{k=1}^n{a}_k}}{\int }_0^1{x}^{{\displaystyle {\mathrm{\Sigma }}_{k=1}^n{a}_k-1}}dx\\ =& {\int }_0^1\frac{1}{x}\sum _{a_1,\dots ,a_n>0}\frac{x^{{\displaystyle {\mathrm{\Sigma }}_{k=1}^n{a}_k}}}{{\displaystyle \prod _{k=1}^n{a}_k}}dx\\ =& {\int }_0^1\frac{(-\log (1-x){)}^n}{x}dx\\ =& {\int }_0^1(-\log x{)}^n\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{x}^{k-1}dx\\ =& \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^n{e}^{-kt}dt\\ =& \zeta (n+1)\mathrm{\Gamma }(n+1)\end{array}$

より、${\displaystyle \sum _{a_1,\dots ,a_n>0}\frac{1}{{\displaystyle \prod _{k=1}^n{a}_k{\displaystyle \sum _{k=1}^n{a}_k}}}=\zeta (n+1)\mathrm{\Gamma }(n+1)}$が示されました。□

おわりに

https://mathlog.info/articles/156
こちらの記事とかなり似ているので、併せて読んでみてください。