apu氏の予想に関する考察[2]

はじめに

こちらの記事に書いてある予想について、色々な方向から考察していこうと思います。

予想の概要

数列 $A_{n} (k) (k = 1, 2, \dots n)$ を以下のように定義する。

方程式 $x^{n} - x^{n - 1} - \dots x^{2} - x - 1 = 0$ の $n$ 個の解 $α_{1}, α_{2}, \dots α_{n}$ に対して、
$A_{n} (k) := \sum_{i = 1}^{n} α_{i}^{k}$

この $A_{n} (k)$ が今回の予想で重要になってきます。

apu氏の予想

上の状況で、 $A_{n} (k) = 2^{k} - 1$ である。

今回の予想

表記を簡便化するために様々な定義をしておく。

基本対称式

複素数を要素に持つdepth $n$ のインデックス $Λ = {λ_{1}, λ_{2}, \dots λ_{n}}$ に対して、多項式
$f_{Λ} (x) := \prod_{m = 1}^{n} (x + λ_{m})$
を定める。このときの $x^{n - k}$ の係数を $S_{k} (Λ)$ と書き、インデックス $Λ$ の $k$ 次基本対称式と呼ぶことにする。

方程式 $x^{n} - x^{n - 1} - \dots x^{2} - x - 1 = 0$ の解 $α_{1}, α_{2}, \dots α_{n}$ を1つにまとめたインデックス $K_{n}$ を、以下のように定義する。
$K_{n} := {α_{1}, α_{2}, \dots α_{n}}$