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apu氏の予想に関する考察[2]

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

はじめに

こちら の記事に書いてある予想について、色々な方向から考察していこうと思います。

予想の概要

数列$A_n(k) \ (k=1,2,\cdots n)$を以下のように定義する。

方程式$x^n-x^{n-1}-\cdots x^2-x-1=0$$n$個の解$\alpha_1,\alpha_2,\cdots \alpha_n$に対して、
$$ A_n(k):=\sum_{i=1}^n \alpha_i^k $$

この$A_n(k)$が今回の予想で重要になってきます。

apu氏の予想

上の状況で、$A_n(k)=2^k-1$である。

今回の予想

表記を簡便化するために様々な定義をしておく。

基本対称式

複素数を要素に持つdepth$n$のインデックス$\Lambda=\{\lambda_1,\lambda_2,\cdots\lambda_n\}$に対して、多項式
$$ f_\Lambda(x):=\prod_{m=1}^n (x+\lambda_m) $$
を定める。このときの$x^{n-k}$の係数を$S_k(\Lambda)$と書き、インデックス$\Lambda$$k$次基本対称式と呼ぶことにする。

方程式$x^n-x^{n-1}-\cdots x^2-x-1=0$の解$\alpha_1,\alpha_2,\cdots \alpha_n$を1つにまとめたインデックス$K_n$を、以下のように定義する。
$$ K_n:=\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots \alpha_n\} $$

上の定義に沿って、今回の僕の予想を書きます。

この記事の本題

漸化式
$$ A_n(k)=\sum_{m=1}^n (-1)^{m+1}S_m(K_n)A_n(k-m) $$
が成り立つ。

また、解と係数の関係より
$$ S_m(K_n)=(-1)^{m+1} $$
なので

書き換え

漸化式
$$ A_n(k)=\sum_{m=1}^nA_n(k-m) $$
が成り立つ。

さいごに

apu氏の予想に関する予想というより、対称式に関する予想になりましたが、たぶん同値です。たぶん。
この予想に関する情報等ありましたら、コメントで教えてくださると有難いです。

投稿日:2021124

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Ιδέα
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