apu氏の予想に関する考察[2]
はじめに
こちら の記事に書いてある予想について、色々な方向から考察していこうと思います。
予想の概要
数列$A_n(k) \ (k=1,2,\cdots n)$を以下のように定義する。
方程式$x^n-x^{n-1}-\cdots x^2-x-1=0$の$n$個の解$\alpha_1,\alpha_2,\cdots \alpha_n$に対して、
$$
A_n(k):=\sum_{i=1}^n \alpha_i^k
$$
この$A_n(k)$が今回の予想で重要になってきます。
上の状況で、$A_n(k)=2^k-1$である。
今回の予想
表記を簡便化するために様々な定義をしておく。
複素数を要素に持つdepth$n$のインデックス$\Lambda=\{\lambda_1,\lambda_2,\cdots\lambda_n\}$に対して、多項式
$$
f_\Lambda(x):=\prod_{m=1}^n (x+\lambda_m)
$$
を定める。このときの$x^{n-k}$の係数を$S_k(\Lambda)$と書き、インデックス$\Lambda$の$k$次基本対称式と呼ぶことにする。
方程式$x^n-x^{n-1}-\cdots x^2-x-1=0$の解$\alpha_1,\alpha_2,\cdots \alpha_n$を1つにまとめたインデックス$K_n$を、以下のように定義する。
$$
K_n:=\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots \alpha_n\}
$$
上の定義に沿って、今回の僕の予想を書きます。
漸化式
$$
A_n(k)=\sum_{m=1}^n (-1)^{m+1}S_m(K_n)A_n(k-m)
$$
が成り立つ。
また、解と係数の関係より
$$
S_m(K_n)=(-1)^{m+1}
$$
なので
漸化式
$$
A_n(k)=\sum_{m=1}^nA_n(k-m)
$$
が成り立つ。
さいごに
apu氏の予想に関する予想というより、対称式に関する予想になりましたが、たぶん同値です。たぶん。
この予想に関する情報等ありましたら、コメントで教えてくださると有難いです。
