大学数学基礎議論

フィボナッチ微分

フィボナッチ数

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素人考え

ブログは素人で、数学も専門で学んでいないため、
間違えや見やすい表現がありましたら。ご指摘いただければ幸いです。

下記 $F_{n}$ はフィボナッチ数列 $(φ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \bar{φ} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2})$

フィボナッチ微分

$D_{F} f (x) = \frac{f (x φ) - f (x \bar{φ})}{\sqrt{5} x}$

線形性は自明

$F_{n} g_{n - 1} (x) = D_{F} g_{n} (x)$

を満たす多項式列（シェファー列） $g_{n} (x)$ を定数倍を無視して考える。
定数倍を無視したため、 $g_{0} (x) = 1$ としてよい、

$g_{n} (x) = x^{n}$ とすると、
$F_{n} g_{n - 1} (x) = F_{n} x^{n - 1} D_{F} g_{n} (x) = D_{F} x^{n} = \frac{(x φ)^{n} - (x \bar{φ})^{n}}{\sqrt{5} x} = F_{n} x^{n - 1}$
$以上より g_{n} (x) = x^{n}$

$f (x) = \sum_{n = 0}^{m} a_{n} x^{n} としたとき, 以上の議論と線形性, F_{0} = 0 より D_{F} f (x) = \sum_{n = 1}^{m} a_{n} F_{n} x^{n - 1} を得る。$
また $x D_{F}$ は多項式のベクトル空間に対して線形作用素として、
作用しその固有値は $F_{n}$ 固有ベクトルは $x^{n}$

フィボナッチs微分

$D_{F, s} f (x) = \frac{f (x φ^{s}) - f (x {\bar{φ}}^{s})}{\sqrt{5} x}$

$D_{F, s} x^{n} = F_{s n} x^{n - 1}$

積の微分の公式の類似

$D_{F, s} (f (x) g (x)) = g (x φ^{s}) D_{F, s} f (x) + f (x {\bar{φ}}^{s}) D_{F, s} g (x) = g (x {\bar{φ}}^{s}) D_{F, s} f (x) + f (x φ^{s}) D_{F, s} g (x)$

今後の課題
$D_{F, s}$ の固有値や固有値ベクトルは何か？（1階同次微分方程式の解を求めよ）
$(x D_{F, s})^{m}$ 等を用いてフィボナッチ数列の各種公式を求めよ。

参照記事
シェファー列
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%82%A7%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%BC%E5%88%97
着想記事
http://math-functions-1.watson.jp/sub2_qspec_010.html
https://mathlog.info/articles/1547

投稿日：2021年1月25日

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