フィボナッチ微分
ブログは素人で、数学も専門で学んでいないため、
間違えや見やすい表現がありましたら。ご指摘いただければ幸いです。
下記$F_n$はフィボナッチ数列$\bigg(\varphi=\frac{1+\sqrt5}2,\ \bar\varphi=\frac{1-\sqrt5}2\bigg) $
$$D_Ff(x)=\frac{f(x\varphi)-f(x\bar\varphi)}{\sqrt5x}$$
線形性は自明
$$F_ng_{n-1}(x)=D_Fg_n(x)$$
を満たす多項式列（シェファー列）$g_n(x)$を定数倍を無視して考える。
定数倍を無視したため、$g_0(x)=1$としてよい、
$g_n(x)=x^n$とすると、
$$F_ng_{n-1}(x)=F_nx^{n-1}\\D_Fg_n(x)=D_Fx^n=\frac{(x\varphi)^n-(x\bar\varphi)^n}{\sqrt5x}=F_nx^{n-1}$$
$$以上よりg_n(x)=x^n \\ \\ \\ $$
$$f(x)=\sum_{n=0}^ma_nx^n
としたとき,以上の議論と線形性,F_0=0 より\\
D_Ff(x)=\sum_{n=1}^ma_nF_nx^{n-1}を得る。
$$
また$xD_F$は多項式のベクトル空間に対して線形作用素として、
作用しその固有値は$F_n$固有ベクトルは$x^n$
$$D_{F,s}f(x)=\frac{f(x\varphi^s)-f(x\bar\varphi^s)}{\sqrt5x}$$
$$D_{F,s}x^n=F_{sn}x^{n-1}$$
$$D_{F,s}(f(x)g(x))=g(x\varphi^s)D_{F,s}f(x)+f(x\bar\varphi^s)D_{F,s}g(x)=\\g(x\bar\varphi^s)D_{F,s}f(x)+f(x\varphi^s)D_{F,s}g(x)$$
今後の課題
$D_{F,s}$の固有値や固有値ベクトルは何か？（1階同次微分方程式の解を求めよ）
$(xD_{F,s})^m$等を用いてフィボナッチ数列の各種公式を求めよ。
参照記事
シェファー列
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%82%A7%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%BC%E5%88%97
着想記事
http://math-functions-1.watson.jp/sub2_qspec_010.html
https://mathlog.info/articles/1547
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