フィボナッチ微積分学(1)

前編
https://mathlog.info/articles/1603

以下
$F_n$はフィボナッチ数$$(\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2},\overline{\phi }=\frac{1-\sqrt{5}}{2})$$
以下定義

積分の定義確認
$$\begin{gathered} D_{t,s}f(x)=\frac{f({\phi }^{t}x)-f({\overline{\phi }}^{t}x)}{({\phi }^s-{\overline{\phi }}^s)x}= \\ \sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{tj}{\overline{\phi }}^{2tj}{\phi }^t(-\overline{\phi }{)}^{t}g((-1{)}^{tj}{\overline{\phi }}^{2tj}x)-\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{tj}{\overline{\phi }}^{2tj}{\overline{\phi }}^t(-\overline{\phi }{)}^{t}g((-1{)}^{t(j+1)}{\overline{\phi }}^{2t(j+1)}x)= \\ \sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{tj}{\overline{\phi }}^{2tj}g((-1{)}^{tj}{\overline{\phi }}^{2tj}x)-\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{t(j+1)}{\overline{\phi }}^{2t(j+1)}g((-1{)}^{t(j+1)}{\overline{\phi }}^{2t(j+1)}x)= \\ q=(-1{)}^t{\overline{\phi }}^{2t}とする、 \\ \sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^{j}g(q^{j}x)-\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^{j+1}g(q^{j+1}x)=g(x) \end{gathered}$$

微分の定義確認
$D{x}^n=n{x}^{n-1}の類似を確かめる。$
$$D_{t,s}{x}^n=\frac{F_{tn}}{F_s}{x}^{n-1}$$似た性質をもつことがわかった。