フィボナッチ微積分学(1)
ブログは素人で、数学も専門で学んでいません。
間違えや見やすい表現がありましたら。ご指摘いただければ幸いです。
前編
https://mathlog.info/articles/1603
主張
q類似と同じようなことが、フィボナッチ微分の場合でも成り立つのではないか？
https://ja.wikipedia.org/wiki/Q-%E9%A1%9E%E4%BC%BC
http://www.sci.osaka-cu.ac.jp/~komori/tsuboi.pdf
https://tetobourbaki.hatenablog.com/entry/2018/03/03/231110
以下
$F_n$はフィボナッチ数$$
\bigg(\varphi=\frac{1+\sqrt5}2,\ \bar\varphi=\frac{1-\sqrt5}2\bigg)
$$
以下定義
$$d_sf(x)=f(\varphi^sx)-f(\bar\varphi^sx)$$
$$D_{t,s}f(x)=\frac{d_tf(x)}{d_sx}=\frac{f(\varphi^tx)-f(\bar\varphi^tx)}{(\varphi^s-\bar\varphi^s)x}$$
$$D_{t,s}f(x)=g(x)\\
f(x)=(\varphi^s-\bar\varphi^s)\sum_{j=0}^\infty(-1)^{tj}\bar\varphi^{2tj}(-\bar\varphi)^txg((-1)^{tj}\bar\varphi^{2tj}(-\bar\varphi)^tx)+C$$
$C$は積分定数
積分の定義確認
$$D_{t,s}f(x)=
\frac{f(\varphi^tx)-f(\bar\varphi^tx)}{(\varphi^s-\bar\varphi^s)x}
=\\\sum_{j=0}^\infty(-1)^{tj}\bar\varphi^{2tj}\varphi^t(-\bar\varphi)^tg((-1)^{tj}\bar\varphi^{2tj}x)-\sum_{j=0}^\infty(-1)^{tj}\bar\varphi^{2tj}\bar\varphi^t(-\bar\varphi)^tg((-1)^{t(j+1)}\bar\varphi^{2t(j+1)}x)=
\\\sum_{j=0}^\infty(-1)^{tj}\bar\varphi^{2tj}g((-1)^{tj}\bar\varphi^{2tj}x)-\sum_{j=0}^\infty(-1)^{t(j+1)}\bar\varphi^{2t(j+1)}g((-1)^{t(j+1)}\bar\varphi^{2t(j+1)}x)=
\\ q=(-1)^t\bar\varphi^{2t}とする、\\
\\\sum_{j=0}^\infty q^jg(q^jx)-\sum_{j=0}^\infty q^{j+1}g(q^{j+1}x)=g(x)$$
微分の定義確認
$Dx^n=nx^{n-1}の類似を確かめる。$
$$
D_{t,s}x^n=\frac{F_{tn}}{F_{s}}x^{n-1}
$$似た性質をもつことがわかった。
$$ D_{t,s}(f(x)g(x))=g(x\varphi^t)D_{t,s}f(x)+f(x\bar\varphi^t)D_{t,s}g(x)=\\g(x\bar\varphi^t)D_{t,s}f(x)+f(x\varphi^t)D_{t,s}g(x) $$
今後の課題
二項係数の類似を考えたい。
https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonomial_coefficient
$$D_{t,s}(x-a)^n≠\frac{F_{tn}}{F_{s}}(x-a)^{n-1}$$
のため$(x-a)^n$の類似をq類似を参考に考えてみる。
https://ja.wikipedia.org/wiki/Q%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%AE%9A%E7%90%86
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yanagida/doc/20190807.pdf
$$g_n(x)= \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
n=0 なら 1\\
n=1 なら x+1\\
n>1 なら g_n(-1)=0,D_{t,s}g_n(x)=\frac{F_{tn}}{F_s}g_{n-1}(x)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$で帰納法的に定める。
$$g_2(x)=(x+1)(x+(\frac{F_{2t}}{F_t}-1))$$
一般項がわからない＞＜どなたか情報ありましたら、コメントお願いします。
この記事を高評価した人
この記事に送られたバッジ
投稿者
