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大学数学基礎解説
解説1
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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}}
\newcommand{div}[0]{\mathrm{div}}
\newcommand{division}[0]{÷}
\newcommand{grad}[0]{\mathrm{grad}\ }
\newcommand{N}[0]{\mathbb{N}}
\newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}}
\newcommand{R}[0]{\mathbb{R}}
\newcommand{rot}[0]{\mathrm{rot}\ }
\newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}}
$$
@sounansya_ さんがツイートした こちらの定理 の解説です．
以下の等式が成り立ちます．ただし$a\in\C$とし，$\mathfrak{R}a>1$を満たすとします．
$\displaystyle\sum_{n,m=0}^\infty\frac{1}{\left(n+m+1\right)^{a+1}}=\zeta\left(a\right)$
解説
\begin{align*} &\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{\left(n,m\right)\in\Z^2\land0\leq n\land0\leq m\land n+m\leq N}\left|\frac{1}{\left(n+m+1\right)^{a+1}}\right|\\ =&\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{\left(n,m\right)\in\Z^2\land0\leq n\land0\leq m\land n+m\leq N}\frac{1}{\left(n+m+1\right)^{\mathfrak{R}a+1}}\\ =&\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{\left(n,k-n\right)\in\Z^2\land0\leq n\land0\leq k-n\land k\leq N}\frac{1}{\left(k+1\right)^{\mathfrak{R}a+1}}\\ =&\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{\left(n,k\right)\in\Z^2\land 0\leq n\leq k\leq N}\frac{1}{\left(k+1\right)^{\mathfrak{R}a+1}}\\ =&\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{k=0}^N\sum_{n=0}^k\frac{1}{\left(k+1\right)^{\mathfrak{R}a+1}}\\ =&\sum_{k=0}^\infty\frac{k+1}{\left(k+1\right)^{\mathfrak{R}a+1}}\\ =&\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^{\mathfrak{R}a}}\\ =&\zeta\left(\mathfrak{R}a\right)\\ <&\infty \end{align*}
より$\displaystyle\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{\left(n,m\right)\in\Z^2\land0\leq n\land0\leq m\land n+m\leq N}\left|\frac{1}{\left(n+m+1\right)^{a+1}}\right|$は存在します．
従って正項二重級数の性質から$\displaystyle\sum_{\left(n,m\right)\in\Z^2\land0\leq n\land0\leq m}\left|\frac{1}{\left(n+m+1\right)^{a+1}}\right|$は存在し，さらに絶対収束性の性質から$\displaystyle\sum_{\left(n,m\right)\in\Z^2\land0\leq n\land0\leq m}\frac{1}{\left(n+m+1\right)^{a+1}}=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{\left(n,m\right)\in\Z^2\land0\leq n\land0\leq m\land n+m\leq N}\frac{1}{\left(n+m+1\right)^{a+1}}$です．
これより
\begin{align*} &\sum_{n,m=0}^\infty\frac{1}{\left(n+m+1\right)^{a+1}}\\ =&\sum_{\left(n,m\right)\in\Z^2\land0\leq n\land0\leq m}\frac{1}{\left(n+m+1\right)^{a+1}}\\ =&\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{\left(n,m\right)\in\Z^2\land0\leq n\land0\leq m\land n+m\leq N}\frac{1}{\left(n+m+1\right)^{a+1}}\\ =&\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{\left(n,k-n\right)\in\Z^2\land0\leq n\land0\leq k-n\land k\leq N}\frac{1}{\left(k+1\right)^{a+1}}\\ =&\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{\left(n,k\right)\in\Z^2\land 0\leq n\leq k\leq N}\frac{1}{\left(k+1\right)^{a+1}}\\ =&\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{k=0}^N\sum_{n=0}^k\frac{1}{\left(k+1\right)^{a+1}}\\ =&\sum_{k=0}^\infty\frac{k+1}{\left(k+1\right)^{a+1}}\\ =&\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^a}\\ =&\zeta\left(a\right) \end{align*}
なので，$\displaystyle\sum_{n,m=0}^\infty\frac{1}{\left(n+m+1\right)^{a+1}}=\zeta\left(a\right)$です．$\blacksquare$
投稿日：2021年1月30日
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