解説1

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@sounansya_ さんがツイートしたこちらの定理の解説です．

以下の等式が成り立ちます．ただし $a \in C$ とし， $R a > 1$ を満たすとします．
$\sum_{n, m = 0}^{\infty} \frac{1}{{(n + m + 1)}^{a + 1}} = ζ (a)$

解説

\begin{aligned} lim_{N \to \infty} \sum_{(n, m) \in Z^{2} \land 0 \leq n \land 0 \leq m \land n + m \leq N} | \frac{1}{{(n + m + 1)}^{a + 1}} | \\ = & lim_{N \to \infty} \sum_{(n, m) \in Z^{2} \land 0 \leq n \land 0 \leq m \land n + m \leq N} \frac{1}{{(n + m + 1)}^{R a + 1}} \\ = & lim_{N \to \infty} \sum_{(n, k - n) \in Z^{2} \land 0 \leq n \land 0 \leq k - n \land k \leq N} \frac{1}{{(k + 1)}^{R a + 1}} \\ = & lim_{N \to \infty} \sum_{(n, k) \in Z^{2} \land 0 \leq n \leq k \leq N} \frac{1}{{(k + 1)}^{R a + 1}} \\ = & lim_{N \to \infty} \sum_{k = 0}^{N} \sum_{n = 0}^{k} \frac{1}{{(k + 1)}^{R a + 1}} \\ = & \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{k + 1}{{(k + 1)}^{R a + 1}} \\ = & \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{R a}} \\ = & ζ (R a) \\ < & \infty \end{aligned}

より

lim_{N \to \infty} \sum_{(n, m) \in Z^{2} \land 0 \leq n \land 0 \leq m \land n + m \leq N} | \frac{1}{{(n + m + 1)}^{a + 1}} |

は存在します．

従って正項二重級数の性質から

\sum_{(n, m) \in Z^{2} \land 0 \leq n \land 0 \leq m} | \frac{1}{{(n + m + 1)}^{a + 1}} |

は存在し，さらに絶対収束性の性質から

\sum_{(n, m) \in Z^{2} \land 0 \leq n \land 0 \leq m} \frac{1}{{(n + m + 1)}^{a + 1}} = lim_{N \to \infty} \sum_{(n, m) \in Z^{2} \land 0 \leq n \land 0 \leq m \land n + m \leq N} \frac{1}{{(n + m + 1)}^{a + 1}}

です．

これより

\begin{aligned} \sum_{n, m = 0}^{\infty} \frac{1}{{(n + m + 1)}^{a + 1}} \\ = & \sum_{(n, m) \in Z^{2} \land 0 \leq n \land 0 \leq m} \frac{1}{{(n + m + 1)}^{a + 1}} \\ = & lim_{N \to \infty} \sum_{(n, m) \in Z^{2} \land 0 \leq n \land 0 \leq m \land n + m \leq N} \frac{1}{{(n + m + 1)}^{a + 1}} \\ = & lim_{N \to \infty} \sum_{(n, k - n) \in Z^{2} \land 0 \leq n \land 0 \leq k - n \land k \leq N} \frac{1}{{(k + 1)}^{a + 1}} \\ = & lim_{N \to \infty} \sum_{(n, k) \in Z^{2} \land 0 \leq n \leq k \leq N} \frac{1}{{(k + 1)}^{a + 1}} \\ = & lim_{N \to \infty} \sum_{k = 0}^{N} \sum_{n = 0}^{k} \frac{1}{{(k + 1)}^{a + 1}} \\ = & \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{k + 1}{{(k + 1)}^{a + 1}} \\ = & \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{a}} \\ = & ζ (a) \end{aligned}

なので，

\sum_{n, m = 0}^{\infty} \frac{1}{{(n + m + 1)}^{a + 1}} = ζ (a)

です．

◼

投稿日：2021年1月30日

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微分積分学，数理論理学，順序数解析が好きです．ここでは主に微積や級数の話題をすると思います．記事まとめは下のリンクからどうぞ．

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