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解説1

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@sounansya_ さんがツイートした こちらの定理 の解説です.

以下の等式が成り立ちます.ただしaCとし,Ra>1を満たすとします.
n,m=01(n+m+1)a+1=ζ(a)

解説
limN(n,m)Z20n0mn+mN|1(n+m+1)a+1|=limN(n,m)Z20n0mn+mN1(n+m+1)Ra+1=limN(n,kn)Z20n0knkN1(k+1)Ra+1=limN(n,k)Z20nkN1(k+1)Ra+1=limNk=0Nn=0k1(k+1)Ra+1=k=0k+1(k+1)Ra+1=k=11kRa=ζ(Ra)<
よりlimN(n,m)Z20n0mn+mN|1(n+m+1)a+1|は存在します.

従って正項二重級数の性質から(n,m)Z20n0m|1(n+m+1)a+1|は存在し,さらに絶対収束性の性質から(n,m)Z20n0m1(n+m+1)a+1=limN(n,m)Z20n0mn+mN1(n+m+1)a+1です.

これより
n,m=01(n+m+1)a+1=(n,m)Z20n0m1(n+m+1)a+1=limN(n,m)Z20n0mn+mN1(n+m+1)a+1=limN(n,kn)Z20n0knkN1(k+1)a+1=limN(n,k)Z20nkN1(k+1)a+1=limNk=0Nn=0k1(k+1)a+1=k=0k+1(k+1)a+1=k=11ka=ζ(a)
なので,n,m=01(n+m+1)a+1=ζ(a)です.
投稿日:2021130
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微分積分学,数理論理学,順序数解析が好きです.ここでは主に微積や級数の話題をすると思います.記事まとめは下のリンクからどうぞ.

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