記事まとめ

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こんにちは！的場沙雪です．ここは私の書いた記事を（本記事を除いて）古い順にまとめた~~自分用の~~記事になります．記事内容がわかりやすいように記事内で触れられている主な主張等（オリジナルの記号や記法については記事を参照してください）を書いておくので，探している記事などあればここからどうぞ．随時更新していきます．

メイン記事

準同型定理と加群同型+自己紹介記事カテゴリ:解説タグ: 加群，準同型定理
自己紹介を兼ねて，準同型定理を見ていて思いついたことを書き連ねた記事です．

$Hom ((G / N, *), (R, +)) ≅ {f \in Hom ((G, *), (R, +)) : N \subseteq \ker (f)}$

複素積分と実部，虚部記事カテゴリ:解説タグ: 複素積分
複素積分を解く際に使えるテクニックについてまとめた記事です．

$\int (R (f^{'})) (z) d z = (R f) (z) + C$
$\int (I (f^{'})) (z) d z = (I f) (z) + C$

分解型複素数の乗法群記事カテゴリ:解説タグ: アーベル群，分解型複素数
分解型複素数に極形式（のようなもの）を考えたり，分解型複素数全体の集合の部分集合として乗法群が作れたりするという記事です．

$(D^{\times}, 1, \times)$

正弦関数の極限の循環論法，解決記事カテゴリ:解説タグ: 三角関数，円周率
三角関数の極限 $lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ に関する循環論法を解決する記事です．

$lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$

col作用素記事カテゴリ:議論タグ: col関数
 $col$ 関数の拡張に関する記事です．

${col}_{n, k} [f; a] (z) = \frac{1}{n} \sum_{l = 0}^{n - 1} ζ_{n}^{- l k} f (ζ_{n}^{l} (z - a) + a)$

自作問題記事

第1問記事カテゴリ:問題タグ: 極限
想定難易度:4/10　確認済み正答者数:0人

$lim_{n \to \infty} (\sum_{i = 1}^{n - 1} \frac{1}{i} \sum_{j = i + 1}^{n} \frac{1}{j} + \sum_{i = n + 1}^{n^{2} - 1} \frac{1}{i} \sum_{j = i + 1}^{n^{2}} \frac{1}{j} - \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{i} \sum_{j = n + 1}^{n^{2}} \frac{1}{j})$

第2問記事カテゴリ:問題タグ: 極限
想定難易度:5/10　確認済み正答者数:1人

$lim_{x \to 0} \sum_{r = 0}^{n}_{n} P_{r} \frac{\sin (x + \frac{n + r}{2} π)}{x^{r + 1}}$

第3問記事カテゴリ:問題タグ: 複素積分
想定難易度:3/10　確認済み正答者数:0人

$\int_{γ} \frac{f (z)}{z - α} d z$

第4問記事カテゴリ:問題タグ: 積分
想定難易度:10/10　確認済み正答者数:1人

$\int_{- \infty}^{\infty} \frac{e^{\frac{π t}{2}} (2 t \cos (e^{\frac{π t}{2}} + \frac{π}{4}) + (t^{2} + 3) \sin (e^{\frac{π t}{2}} + \frac{π}{4}))}{(t^{2} + 1) (t^{2} + 9)} d t$

第4.5問記事カテゴリ:問題タグ: 積分
想定難易度:10/10　確認済み正答者数:1人

$\int_{- \infty}^{\infty} e^{π t - \frac{e^{π t}}{\sqrt{2}}} \frac{({(4 t)}^{2} + 15) \cos \frac{e^{π t}}{\sqrt{2}} - 8 t \sin \frac{e^{π t}}{\sqrt{2}}}{{({(4 t)}^{2} + 15)}^{2} + {(8 t)}^{2}} d t$

第5問記事カテゴリ:問題タグ: 極限，ガンマ関数
想定難易度:2/10　確認済み正答者数:0人

$lim_{z \to - n} \frac{ψ^{(1)} (z)}{Γ {(z)}^{2}}$

第6問記事カテゴリ:問題タグ: 積分
想定難易度:7/10　確認済み正答者数:1人

$\int_{0}^{\infty} (\log x) e^{- x} \cos (θ - (\tan θ) x) d x$

未解決問題記事

未解決問題1 記事カテゴリ:議論タグ: 内積空間
解決済みです．内積空間とデルタ超関数に関する記事です．

$Im β \cap Im δ = \emptyset$

未解決問題2 記事カテゴリ:議論タグ: ディガンマ関数，無理数
未解決です．ディガンマ関数の正の零点の無理性予想に関する記事です．

$\sum_{k = 1}^{q - 1} \cos \frac{2 p π k}{q} \ln \sin \frac{π k}{q} \neq γ + \ln 2 q + \frac{π}{2} \cot \frac{π p}{q} - \frac{q}{p}$

問題解説記事

解説1 記事カテゴリ:解説タグ: 級数，リーマンゼータ関数
 @sounansya_ さんがツイートしたこちらの定理の解説です．

$\sum_{n, m = 0}^{\infty} \frac{1}{{(n + m + 1)}^{a + 1}} = ζ (a)$

解説2 記事カテゴリ:解説タグ: コーシーの関数方程式
 @coelaca98715676 さんがツイートしたこちらの問題の解説です．

$\forall n \in Z_{\geq 1}, \forall x \in Map (Z \cap [1, n], R), f (\sum_{k = 1}^{n} x_{k}) = \sum_{k = 1}^{n} f (x_{k})$

解説3 記事カテゴリ:解説タグ: 積分
 @sounansya_ さんがツイートしたこちらの問題の解説です．

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{\frac{1}{3}} θ \cos^{\frac{5}{3}} θ \ln \tan θ d θ$

解説4 記事カテゴリ:解説タグ: 積分
 @integralsbot さんがツイートしたこちらの定理の解説です．

$\int_{0}^{1} (⌊ \frac{α}{x} ⌋ - α ⌊ \frac{1}{x} ⌋) d x = α \ln α$

解説5 記事カテゴリ:解説タグ: 積分，リーマンゼータ関数
 @integralsbot さんがツイートしたこちらの定理の解説です．

$\int_{0}^{1} {⌊ \frac{1}{x} ⌋}^{- 1} d x = ζ (2) - 1$

解説6 記事カテゴリ:解説タグ: 積分
 @infseriesbot さんがツイートしたこちらの定理の解説です．

$\int_{0}^{\infty} \frac{\sin s x}{e^{2 π x} - 1} d x = \frac{1}{2} (\frac{1}{1 - e^{- s}} - \frac{1}{s} - \frac{1}{2})$

解説7 記事カテゴリ:解説タグ: 積分
 @infseriesbot さんがツイートしたこちらの定理の解説です．

$\int_{0}^{\infty} \frac{\cos \sqrt{x}}{e^{2 π \sqrt{x}} - 1} d x = 1 - \frac{e}{{(e - 1)}^{2}}$

解説8 記事カテゴリ:解説タグ: 積分，リーマンゼータ関数
 @integralsbot さんがツイートしたこちらの定理の解説です．

$\int_{0}^{1} {⌊ \frac{1}{x} ⌋}^{- 1} ((1 + s) x^{s} - s x^{- 1 + s}) d x = ζ (2 + s) - 1$

解説9 記事カテゴリ:解説タグ: 積分
 @integralsbot さんがツイートしたこちらの定理の解説です．

$\int_{0}^{\infty} \ln (1 - 2 \frac{\cos 2 θ}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}) d x = 2 π | \sin θ |$

解説10 記事カテゴリ:解説タグ: 積分
 @integralsbot さんがツイートしたこちらの定理の解説です．

$\int_{0}^{\infty} \frac{\ln x}{\cosh^{2} x} d x = \ln \frac{π}{4} - γ$

解説11 記事カテゴリ:解説タグ: 積分，対数積分
 @infseriesbot さんがツイートしたこちらの定理の解説です．

$\int_{0}^{1} (\frac{1}{1 - x} + \frac{1}{\ln x}) d x = γ$

解説12 記事カテゴリ:解説タグ: 積分，リーマンゼータ関数
 @integralsbot さんがツイートしたこちらの定理の解説です．

$\int_{1}^{\infty} \frac{{x}^{2}}{x^{s + 1}} d x = \frac{1}{s - 2} - \frac{ζ (s)}{s} - \frac{2 ζ (s - 1)}{s (s - 1)}$

解説13 記事カテゴリ:解説タグ: 積分，リーマンゼータ関数
 @integralsbot さんがツイートしたこちらの定理の解説です．

$\int_{0}^{1} \frac{x^{n} \ln^{a - 1} \frac{1}{x}}{1 - x} d x = Γ (a) (ζ (a) - H_{n, a})$

解説14 記事カテゴリ:解説タグ: 積分
 @integralsbot さんがツイートしたこちらの定理の解説です．

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} ⌊ x + y + z ⌋ d x d y d z = 1$

解説15 記事カテゴリ:解説タグ: 積分
 @integralsbot さんがツイートしたこちらの定理の解説です．

$\int_{- \infty}^{\infty} \frac{\sinh α x}{\sinh π x} \cos β x d x = \frac{\sin α}{\cos α + \cosh β}$
$\int_{- \infty}^{\infty} \frac{\cosh α x}{\sinh π x} \sin β x d x = \frac{\sinh β}{\cos α + \cosh β}$