解説3

@sounansya_ さんがツイートしたこちらの問題の解説です．

以下の式を求めてください．
$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{\frac{1}{3}} θ \cos^{\frac{5}{3}} θ \ln \tan θ d θ$

解答

解説

\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{\frac{1}{3}} θ \cos^{\frac{5}{3}} θ \ln \tan θ d θ \\ = & \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (2 \ln \sin θ) \sin^{2 \cdot \frac{2}{3} - 1} θ \cos^{2 \cdot \frac{4}{3} - 1} θ d θ - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2 \cdot \frac{2}{3} - 1} θ (2 \ln \cos θ) \cos^{2 \cdot \frac{4}{3} - 1} θ d θ \\ = & \frac{1}{4} lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} (\frac{d}{d x} \sin^{2 x - 1} θ) \cos^{2 \cdot \frac{4}{3} - 1} θ d θ - \frac{1}{4} lim_{y \to \frac{4}{3}} 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2 \cdot \frac{2}{3} - 1} θ (\frac{d}{d y} \cos^{2 y - 1} θ) d θ \\ = & \frac{1}{4} lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} B (x, \frac{4}{3}) - \frac{1}{4} lim_{y \to \frac{4}{3}} \frac{d}{d y} B (\frac{2}{3}, y) \\ = & \frac{1}{4} lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} \frac{Γ (x) Γ (\frac{4}{3})}{Γ (x + \frac{4}{3})} - \frac{1}{4} lim_{y \to \frac{4}{3}} \frac{d}{d y} \frac{Γ (\frac{2}{3}) Γ (y)}{Γ (\frac{2}{3} + y)} \\ = & \frac{1}{4} (ψ (\frac{2}{3}) - ψ (\frac{2}{3} + \frac{4}{3})) \frac{Γ (\frac{2}{3}) Γ (\frac{4}{3})}{Γ (\frac{2}{3} + \frac{4}{3})} - \frac{1}{4} (ψ (\frac{4}{3}) - ψ (\frac{2}{3} + \frac{4}{3})) \frac{Γ (\frac{2}{3}) Γ (\frac{4}{3})}{Γ (\frac{2}{3} + \frac{4}{3})} \\ = & \frac{1}{4} (ψ (\frac{2}{3}) - ψ (\frac{4}{3})) \frac{Γ (\frac{2}{3}) Γ (\frac{4}{3})}{Γ (\frac{2}{3} + \frac{4}{3})} \\ = & \frac{1}{4} (ψ (1 - \frac{1}{3}) - ψ (\frac{1}{3}) - \frac{1}{\frac{1}{3}}) \frac{Γ (1 - \frac{1}{3}) Γ (\frac{1}{3}) \frac{1}{3}}{Γ (2)} \\ = & \frac{1}{12} (π \cot \frac{π}{3} - 3) \frac{π}{\sin \frac{π}{3}} \\ = & \frac{1}{12} (\frac{π}{\sqrt{3}} - 3) \frac{π}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \\ = & \frac{π^{2}}{18} - \frac{π}{2 \sqrt{3}} \end{aligned}

なので，

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{\frac{1}{3}} θ \cos^{\frac{5}{3}} θ \ln \tan θ d θ = \frac{π^{2}}{18} - \frac{π}{2 \sqrt{3}}

です．

投稿日：2021年2月2日

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投稿者

的場沙雪

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微分積分学，数理論理学，順序数解析が好きです．ここでは主に微積や級数の話題をすると思います．記事まとめは下のリンクからどうぞ．

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