解説9

以下の等式が成り立ちます．ただし $θ \in R$ とします．
$\int_{0}^{\infty} \ln (1 - 2 \frac{\cos 2 θ}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}) d x = 2 π | \sin θ |$

ツイート内容では右辺が $2 π \sin θ$ となっていますが， $2 π | \sin θ |$ が正しいです（実軸に沿って積分すると解釈した場合）．これは対数関数の分岐点の位置関係が $θ$ によって変化し，それによって分岐点の避け方が異なるためです．

解説

実数

α

に対し，複素関数

\arg_{α} : C ∖ {r e^{i α} : r \in R_{\geq 0}} \to] α, α + 2 π [

，

\log_{α} : C ∖ {r e^{i α} : r \in R_{\geq 0}} \to C

を

\forall α \in R, \forall r > 0, \forall u \in] α, α + 2 π [, \arg_{α} (r e^{i u}) = u

\forall α \in R, \forall z \in C ∖ {r e^{i α} : r \in R_{\geq 0}}, \log_{α} (z) = \ln | z | + i \arg_{α} (z)

により定義すると，任意の実数

α

に対して，関数

\log_{α}

は正則関数であり，

\forall α \in R, \frac{d}{d z} \log_{α} (z) = \frac{1}{z}

です．

\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \ln (1 - 2 \frac{\cos 2 θ}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}) d x \\ = & lim_{R \to \infty} lim_{ε \to + 0} \int_{ε}^{R} \ln (1 - 2 \frac{\cos 2 θ}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}) d x \\ = & lim_{R \to \infty} lim_{ε \to + 0} ({[x \ln (1 - 2 \frac{\cos 2 θ}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}})]}_{x = ε}^{R} - \int_{ε}^{R} x \frac{0 + (- 2) (- 2 \frac{\cos 2 θ}{x^{3}}) + (- 4) \frac{1}{x^{5}}}{1 - 2 \frac{\cos 2 θ}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}} d x) \\ = & lim_{R \to \infty} lim_{ε \to + 0} (R \ln (1 - 2 \frac{\cos 2 θ}{R^{2}} + \frac{1}{R^{4}}) - ε \ln (1 - 2 \frac{\cos 2 θ}{ε^{2}} + \frac{1}{ε^{4}}) - \int_{ε}^{R} \frac{2 (e^{2 i θ} + e^{- 2 i θ}) x^{2} - 4}{x^{4} - (e^{2 i θ} + e^{- 2 i θ}) x^{2} + 1} d x) \\ = & lim_{R \to \infty} lim_{ε \to + 0} (- R (2 \frac{\cos 2 θ}{R^{2}} - \frac{1}{R^{4}} + O (\frac{1}{R^{4}})) - ε (\ln (ε^{4} - (2 \cos 2 θ) ε^{2} + 1) - 4 \ln ε) - \int_{ε}^{R} \frac{2 e^{2 i θ} (x^{2} - e^{- 2 i θ}) + 2 e^{- 2 i θ} (x^{2} - e^{2 i θ})}{(x^{2} - e^{2 i θ}) (x^{2} - e^{- 2 i θ})} d x) \\ = & lim_{R \to \infty} lim_{ε \to + 0} (- 2 \frac{\cos 2 θ}{R} + \frac{1}{R^{3}} + O (\frac{1}{R^{3}}) - ε \ln (ε^{4} - (2 \cos 2 θ) ε^{2} + 1) + 4 ε \ln ε - \int_{ε}^{R} (\frac{2 e^{2 i θ}}{x^{2} - e^{2 i θ}} + \frac{2 e^{- 2 i θ}}{x^{2} - e^{- 2 i θ}}) d x) \\ = & - 2 \cos 2 θ \cdot 0 + 0 + 0 - 0 \ln (0^{4} - (2 \cos 2 θ) 0^{2} + 1) + 4 \cdot 0 + lim_{R \to \infty} lim_{ε \to + 0} (- \int_{ε}^{R} (\frac{e^{i θ} (x + e^{i θ}) - e^{i θ} (x - e^{i θ})}{(x - e^{i θ}) (x + e^{i θ})} + \frac{e^{- i θ} (x + e^{- i θ}) - e^{- i θ} (x - e^{- i θ})}{(x - e^{- i θ}) (x + e^{- i θ})}) d x) \\ = & lim_{R \to \infty} \int_{0}^{R} (- \frac{e^{i θ}}{x - e^{i θ}} + \frac{e^{i θ}}{x + e^{i θ}} - \frac{e^{- i θ}}{x - e^{- i θ}} + \frac{e^{- i θ}}{x + e^{- i θ}}) d x \end{aligned}

(i) \exists n \in Z s . t . 2 n π < θ < (2 n + 1) π

のとき

\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \ln (1 - 2 \frac{\cos 2 θ}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}) d x \\ = & lim_{R \to \infty} \int_{0}^{R} (- \frac{e^{i θ}}{x - e^{i θ}} + \frac{e^{i θ}}{x + e^{i θ}} - \frac{e^{- i θ}}{x - e^{- i θ}} + \frac{e^{- i θ}}{x + e^{- i θ}}) d x \\ = & lim_{R \to \infty} {[- e^{i θ} \log_{0} (x - e^{i θ}) + e^{i θ} \log_{0} (x + e^{i θ}) - e^{- i θ} \log_{0} (x - e^{- i θ}) + e^{- i θ} \log_{0} (x + e^{- i θ})]}_{x = 0}^{R} \\ = & lim_{R \to \infty} (- e^{i θ} \log_{0} (R - e^{i θ}) + e^{i θ} \log_{0} (R + e^{i θ}) - e^{- i θ} \log_{0} (R - e^{- i θ}) + e^{- i θ} \log_{0} (R + e^{- i θ})) - (- e^{i θ} \log_{0} (- e^{i θ}) + e^{i θ} \log_{0} (e^{i θ}) - e^{- i θ} \log_{0} (- e^{- i θ}) + e^{- i θ} \log_{0} (e^{- i θ})) \\ = & lim_{R \to \infty} (e^{i θ} (\ln | \frac{R + e^{i θ}}{R - e^{i θ}} | - i \arg_{0} (R - e^{i θ}) + i \arg_{0} (R + e^{i θ})) + e^{- i θ} (\ln | \frac{R + e^{- i θ}}{R - e^{- i θ}} | - i \arg_{0} (R - e^{- i θ}) + i \arg_{0} (R + e^{- i θ}))) - (- e^{i θ} i (θ - 2 π ⌊ \frac{θ}{2 π} ⌋ + π) + e^{i θ} i (θ - 2 π ⌊ \frac{θ}{2 π} ⌋) - e^{- i θ} i (- θ + 2 π ⌊ \frac{θ}{2 π} ⌋ + π) + e^{- i θ} i (- θ + 2 π ⌊ \frac{θ}{2 π} ⌋ + 2 π)) \\ = & e^{i θ} (\ln | 1 | - i \cdot 2 π + i \cdot 0) + e^{- i θ} (\ln | 1 | - i \cdot 0 + i \cdot 2 π) + e^{i θ} i π - e^{- i θ} i π \\ = & - i π (e^{i θ} - e^{- i θ}) \\ = & 2 π \sin θ \\ = & 2 π | \sin θ | \end{aligned}

(ii) \exists n \in Z s . t . (2 n + 1) π < θ < (2 n + 2) π

のとき

\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \ln (1 - 2 \frac{\cos 2 θ}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}) d x \\ = & lim_{R \to \infty} \int_{0}^{R} (- \frac{e^{i θ}}{x - e^{i θ}} + \frac{e^{i θ}}{x + e^{i θ}} - \frac{e^{- i θ}}{x - e^{- i θ}} + \frac{e^{- i θ}}{x + e^{- i θ}}) d x \\ = & lim_{R \to \infty} \int_{0}^{R} (- \frac{- e^{i (θ - π)}}{x + e^{i (θ - π)}} + \frac{- e^{i (θ - π)}}{x - e^{i (θ - π)}} - \frac{- e^{- i (θ - π)}}{x + e^{- i (θ - π)}} + \frac{- e^{- i (θ - π)}}{x - e^{- i (θ - π)}}) d x \\ = & lim_{R \to \infty} \int_{0}^{R} (- \frac{e^{i (θ - π)}}{x - e^{i (θ - π)}} + \frac{e^{i (θ - π)}}{x + e^{i (θ - π)}} - \frac{e^{- i (θ - π)}}{x - e^{- i (θ - π)}} + \frac{e^{- i (θ - π)}}{x + e^{- i (θ - π)}}) d x \\ = & 2 π \sin (θ - π) \\ = & - 2 π \sin θ \\ = & 2 π | \sin θ | \end{aligned}

(iii) \exists m \in Z s . t . θ = m π

のとき

\forall x \in] 0, \infty [, \ln (1 - 2 \frac{\cos 2 θ}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}) = \ln (1 - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}) = \ln {(1 - \frac{1}{x^{2}})}^{2} = \ln {(\frac{x^{2} - 1}{x^{2}})}^{2} = \ln {(\frac{(x - 1) (x + 1)}{x^{2}})}^{2} = 2 \ln | x - 1 | + 2 \ln (x + 1) - 4 \ln x

であるため広義積分

\int_{0}^{\infty} \ln (1 - 2 \frac{\cos 2 θ}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}) d x

は積分経路内に被積分関数が発散する点を含みますが，

\begin{aligned} \int_{0}^{1} \ln (1 - 2 \frac{\cos 2 θ}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}) d x \\ = & \int_{0}^{1} (2 \ln | x - 1 | + 2 \ln (x + 1) - 4 \ln x) d x \\ = & \int_{0}^{1} (2 \ln (1 - x) + 2 \ln (x + 1) - 4 \ln x) d x \\ = & {[- 2 (1 - x) (\ln (1 - x) - 1) + 2 (x + 1) (\ln (x + 1) - 1) - 4 x (\ln x - 1)]}_{x = 0}^{1} \\ = & (- 2 lim_{ε \to + 0} ε (\ln ε - 1) + 2 \cdot 2 (\ln 2 - 1) - 4 \cdot 1 (\ln 1 - 1)) - (- 2 \cdot 1 (\ln 1 - 1) + 2 \cdot 1 (\ln 1 - 1) - 4 lim_{ε \to + 0} ε (\ln ε - 1)) \\ = & (- 2 lim_{ε \to + 0} (ε \ln ε - ε) + 4 (\ln 2 - 1) + 4) - (2 - 2 - 4 lim_{ε \to + 0} (ε \ln ε - ε)) \\ = & (- 2 (0 - 0) + 4 \ln 2) - (- 4 (0 - 0)) \\ = & 4 \ln 2 \end{aligned}

であり，

\begin{aligned} \int_{1}^{\infty} \ln (1 - 2 \frac{\cos 2 θ}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}) d x \\ = & \int_{1}^{\infty} (2 \ln | x - 1 | + 2 \ln (x + 1) - 4 \ln x) d x \\ = & \int_{1}^{\infty} (2 \ln (1 - x) + 2 \ln (x + 1) - 4 \ln x) d x \\ = & {[2 (x - 1) (\ln (x - 1) - 1) + 2 (x + 1) (\ln (x + 1) - 1) - 4 x (\ln x - 1)]}_{x = 1}^{\infty} \\ = & lim_{R \to \infty} (2 (R - 1) (\ln (R - 1) - 1) + 2 (R + 1) (\ln (R + 1) - 1) - 4 R (\ln R - 1)) - (- 2 lim_{ε \to + 0} ε (\ln ε - 1) + 2 \cdot 2 (\ln 2 - 1) - 4 \cdot 1 (\ln 1 - 1)) \\ = & lim_{R \to \infty} (2 R \ln (1 - \frac{1}{R^{2}}) + 2 \ln \frac{R + 1}{R - 1}) - (- 2 lim_{ε \to + 0} (ε \ln ε - ε) + 4 (\ln 2 - 1) + 4) \\ = & lim_{R \to \infty} (- 2 \frac{1}{R} + O (\frac{1}{R^{3}}) + 2 \ln \frac{R + 1}{R - 1}) - (- 2 (0 - 0) + 4 \ln 2) \\ = & (- 2 \cdot 0 + 0 + 2 \ln 1) - 4 \ln 2 \\ = & - 4 \ln 2 \end{aligned}

であるため広義積分

\int_{0}^{\infty} \ln (1 - 2 \frac{\cos 2 θ}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}) d x

は収束し，

\int_{0}^{\infty} \ln (1 - 2 \frac{\cos 2 θ}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}) d x = \int_{0}^{1} \ln (1 - 2 \frac{\cos 2 θ}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}) d x + \int_{1}^{\infty} \ln (1 - 2 \frac{\cos 2 θ}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}) d x = 4 \ln 2 + (- 4 \ln 2) = 0 = 2 π | \sin θ |

です．

以上

(i)

，

(ii)

，

(iii)

より，

\int_{0}^{\infty} \ln (1 - 2 \frac{\cos 2 θ}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}) d x = 2 π | \sin θ |

です．

◼

投稿日：2021年2月20日

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的場沙雪

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微分積分学，数理論理学，順序数解析が好きです．ここでは主に微積や級数の話題をすると思います．記事まとめは下のリンクからどうぞ．

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