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大学数学基礎解説

解説8

積分,リーマンゼータ関数
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@integralsbot さんがツイートした こちらの定理 の解説です．

以下の等式が成り立ちます．ただしs∈Cとし，Rs>−1を満たすとします．
∫01⌊1x⌋−1((1+s)xs−sx−1+s)dx=ζ(2+s)−1

ツイート内容ではRs>0となっていますが，より広い範囲Rs>−1で成り立ちます．恐らく
limε→+0εs⌊1ε⌋=limε→+01ε⌊1ε⌋ε1+s=1⋅0=0
と出来るところを
limε→+0εs⌊1ε⌋=limε→+01⌊1ε⌋εs=0⋅0=0
としたことに起因すると思われます．

解説
∫01⌊1x⌋−1((1+s)xs−sx−1+s)dx=limε→+0∫ε1⌊1x⌋−1((1+s)xs−sx−1+s)dx=limε→+0∫1ε1⌊t⌋−1((1+s)(1t)s−s(1t)−1+s)(−dtt2)=limε→+0(∑k=1⌊1ε⌋∫kk+11k((1+s)t−2−s−st−1−s)dt−∫1ε⌊1ε⌋+11⌊1ε⌋((1+s)t−2−s−st−1−s)dt)=limε→+0(∑k=1⌊1ε⌋1k[−t−1−s+t−s]t=kk+1−1⌊1ε⌋[−t−1−s+t−s]t=1ε⌊1ε⌋+1)=limε→+0(∑k=1⌊1ε⌋(1k2+s+1(k+1)1+s−1k1+s)−1(⌊1ε⌋+1)1+s−ε1+s⌊1ε⌋+εs⌊1ε⌋)=limε→+0(H⌊1ε⌋,2+s+1(⌊1ε⌋+1)1+s−1−1(⌊1ε⌋+1)1+s−ε1+s⌊1ε⌋+εs⌊1ε⌋)=limε→+0(H⌊1ε⌋,2+s−1−ε1+s⌊1ε⌋+εs⌊1ε⌋)=limε→+0(H⌊1ε⌋,2+s−1−1⌊1ε⌋ε1+s+1ε⌊1ε⌋ε1+s)=ζ(2+s)−1−0⋅0+1⋅0=ζ(2+s)−1
なので，∫01⌊1x⌋−1((1+s)xs−sx−1+s)dx=ζ(2+s)−1です．◼
投稿日：2021年2月18日
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的場 沙雪
的場 沙雪
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微分積分学，数理論理学，順序数解析が好きです．ここでは主に微積や級数の話題をすると思います．記事まとめは下のリンクからどうぞ．

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