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未解決問題1

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追記

解決しました!!協力してくださった buta_kimchi_ さん, J_Koizumi さん, yakiniku_math さん,本当にありがとうございます!!!

ここでは問題を作ったのはいいものの,解けなかったものを投下していきます.どなたか解いていただけるととても喜びます.

今回の問題は 件のツイート です(ツイート内容では問題設定をミスってたので,この記事はその訂正版です).

Dを集合,KRCSK-ベクトル空間Map(D,K)の部分空間,,S上の内積,β
gS, fS, βg(f)=f,g
により定義される(K-線型)写像β:SMap(S,K)δ
xD, fS, δx(f)=f(x)
により定義される写像δ:DMap(S,K)とし,
xD, fS s.t. f(x)0を満たすとします.

このとき,ImβImδ=は証明可能ですか,それとも否定モデルが構成出来ますか.

Map(D,K)は関数の和とスカラー倍によりK-ベクトル空間と見做してください.

なお,肯定モデルは,aba<bなる拡張実数としてD=]a,b[K=RSC0(D;K)(f,g)S2, f,g=Df(t)g(t)dtとすることで得られます.これはデルタ超関数が関数でないことを意味します.

つまり以下の定理が成り立ちます.

abを拡張実数とし,a<bを満たすとします.

このとき,以下が成り立ちます.
x]a,b[, gC0(]a,b[;R), fC0(]a,b[;R) s.t. f(x)abf(t)g(t)dt

解説
x]a,b[ s.t. gC0(]a,b[;R) s.t. fC0(]a,b[;R), f(x)=abf(t)g(t)dt
と仮定する.fC0(]a,b[;R), f(x)=abf(t)g(t)dtを満たす]a,b[の元xC0(]a,b[;R)の元gをとる.

Cauchy–Schwarzの不等式より,
fC0(]a,b[;R), (abf(t)g(t)dt)2abf(t)2dtabg(t)2dt
であり,gの性質から
fC0(]a,b[;R), f(x)2abf(t)2dtg(x)
となる.ここでf:]a,b[R;teπ(g(x)+1)2(tx)22を考えると,
1abeπ(g(x)+1)2(tx)2dtg(x)
を得る.

(i)g(x)0のとき
1abeπ(g(x)+1)2(tx)2dtg(x)<0より矛盾.

(ii)g(x)>0のとき
1abeπ(g(x)+1)2(tx)2dtg(x)eπ(g(x)+1)2(tx)2dtg(x)=g(x)g(x)+1=11g(x)+1より矛盾.

以上(i)(ii)より,矛盾する.この矛盾は
x]a,b[ s.t. gC0(]a,b[;R) s.t. fC0(]a,b[;R), f(x)=abf(t)g(t)dt
と仮定したことに起因する.従って背理法により,仮定の否定,つまり
x]a,b[, gC0(]a,b[;R), fC0(]a,b[;R) s.t. f(x)abf(t)g(t)dt
が成り立つ.

証明から,S=C0(D;K)だけでなく,nを正整数としてS=Cn(D;K)S=C(D;K)S=Cω(D;K)でも成立することがわかります.この証明に具体的な関数を用意しているので,恐らく否定モデルは構成出来ると思われます.なお,よく見かける以下の証明は間違っています.

間違った証明

x]a,b[ s.t. gC0(]a,b[;R) s.t. fC0(]a,b[;R), f(x)=abf(t)g(t)dt
と仮定する.fC0(]a,b[;R), f(x)=abf(t)g(t)dtを満たす]a,b[の元xC0(]a,b[;R)の元gをとる.

C0(]a,b[;R)の元fを任意にとる.f(x)=abf(t)g(t)dtより,]a,b[{x}の元tに対して,f(t)の値は積分abf(t)g(t)dtに影響を与えないので,g(t)=0である

よって
f(x)=abf(t)g(t)dt=axf(t)g(t)dt+xbf(t)g(t)dt=ax0dt+xb0dt=0+0=0
である.f(x)0となる関数fはとれるので(例えば値1を持つ定数関数),これは矛盾.

この矛盾は
x]a,b[ s.t. gC0(]a,b[;R) s.t. fC0(]a,b[;R), f(x)=abf(t)g(t)dt
と仮定したことに起因する.従って背理法により,仮定の否定,つまり
x]a,b[, gC0(]a,b[;R), fC0(]a,b[;R) s.t. f(x)abf(t)g(t)dt
が成り立つ.

投稿日:202136
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微分積分学,数理論理学,順序数解析が好きです.ここでは主に微積や級数の話題をすると思います.記事まとめは下のリンクからどうぞ.

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