解説6

以下の等式が成り立ちます．ただし $s \in C_{\neq 0}$ とします．
$\int_{0}^{\infty} \frac{\sin s x}{e^{2 π x} - 1} d x = \frac{1}{2} (\frac{1}{1 - e^{- s}} - \frac{1}{s} - \frac{1}{2})$

解説

\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin s x}{e^{2 π x} - 1} d x \\ = & \int_{0}^{\infty} \sin s x \frac{e^{- 2 π x}}{1 - e^{- 2 π x}} d x \\ = & \int_{0}^{\infty} \sin s x \sum_{k = 1}^{\infty} e^{- 2 π k x} d x \\ = & \int_{0}^{\infty} - \sum_{k = 1}^{\infty} e^{- 2 π k x} \frac{(- s^{2} - {(2 π k)}^{2}) \sin s x}{s^{2} + {(2 π k)}^{2}} d x \\ = & \int_{0}^{\infty} - \sum_{k = 1}^{\infty} e^{- 2 π k x} \frac{- 2 π k s \cos s x - {(2 π k)}^{2} \sin s x - s^{2} \sin s x + 2 π k s \cos s x}{s^{2} + {(2 π k)}^{2}} d x \\ = & \int_{0}^{\infty} - \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{- 2 π k e^{- 2 π k x} (s \cos s x + 2 π k \sin s x) + e^{- 2 π k x} (- s^{2} \sin s x + 2 π k s \cos s x)}{s^{2} + {(2 π k)}^{2}} d x \\ = & \int_{0}^{\infty} - \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(\frac{d}{d x} e^{- 2 π k x}) (s \cos s x + 2 π k \sin s x) + e^{- 2 π k x} (s (\frac{d}{d x} \cos s x) + 2 π k (\frac{d}{d x} \sin s x))}{s^{2} + {(2 π k)}^{2}} d x \\ = & {[- \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{e^{- 2 π k x} (s \cos s x + 2 π k \sin s x)}{s^{2} + {(2 π k)}^{2}}]}_{x = 0}^{\infty} \\ = & \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{s}{s^{2} + {(2 π k)}^{2}} \\ = & \frac{i}{4 π} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2 \frac{i s}{2 π}}{{(\frac{i s}{2 π})}^{2} - k^{2}} \\ = & \frac{i}{4 π} (π \cot π \frac{i s}{2 π} - \frac{1}{\frac{i s}{2 π}}) \\ = & \frac{i}{4 π} (i π \frac{e^{- \frac{s}{2}} + e^{\frac{s}{2}}}{e^{- \frac{s}{2}} - e^{\frac{s}{2}}} - \frac{2 π}{i s}) \\ = & \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \frac{e^{- s} + 1}{e^{- s} - 1} - \frac{1}{s}) \\ = & \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \frac{2 - (1 - e^{- s})}{1 - e^{- s}} - \frac{1}{s}) \\ = & \frac{1}{2} (\frac{1}{1 - e^{- s}} - \frac{1}{s} - \frac{1}{2}) \end{aligned}

なので，

\int_{0}^{\infty} \frac{\sin s x}{e^{2 π x} - 1} d x = \frac{1}{2} (\frac{1}{1 - e^{- s}} - \frac{1}{s} - \frac{1}{2})

です．

◼

投稿日：2021年2月10日

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的場沙雪

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微分積分学，数理論理学，順序数解析が好きです．ここでは主に微積や級数の話題をすると思います．記事まとめは下のリンクからどうぞ．

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