解説4

以下の等式が成り立ちます．ただし $α \in] 0, 1 [$ とします．
$\int_{0}^{1} (⌊ \frac{α}{x} ⌋ - α ⌊ \frac{1}{x} ⌋) d x = α \ln α$

まず補題を証明します．

以下の等式が成り立ちます．ただし $r \in R_{> 0}$ とします．
$\int_{1}^{r} \frac{⌊ t ⌋}{t^{2}} d t = H_{⌊ r ⌋} - \frac{⌊ r ⌋}{r}$

解説

\begin{aligned} \int_{1}^{r} \frac{⌊ t ⌋}{t^{2}} d t \\ = & \sum_{k = 2}^{⌊ r ⌋ + 2} \int_{k - 1}^{k} \frac{⌊ t ⌋}{t^{2}} d t - \int_{r}^{⌊ r ⌋ + 1} \frac{⌊ t ⌋}{t^{2}} d t - \int_{⌊ r ⌋ + 1}^{⌊ r ⌋ + 2} \frac{⌊ t ⌋}{t^{2}} d t \\ = & \sum_{k = 2}^{⌊ r ⌋ + 2} \int_{k - 1}^{k} \frac{k - 1}{t^{2}} d t - \int_{r}^{⌊ r ⌋ + 1} \frac{⌊ r ⌋}{t^{2}} d t - \int_{⌊ r ⌋ + 1}^{⌊ r ⌋ + 2} \frac{⌊ r ⌋ + 1}{t^{2}} d t \\ = & \sum_{k = 2}^{⌊ r ⌋ + 2} {[- \frac{k - 1}{t}]}_{t = k - 1}^{k} - {[- \frac{⌊ r ⌋}{t}]}_{t = r}^{⌊ r ⌋ + 1} - {[- \frac{⌊ r ⌋ + 1}{t}]}_{t = ⌊ r ⌋ + 1}^{⌊ r ⌋ + 2} \\ = & \sum_{k = 2}^{⌊ r ⌋ + 2} (- \frac{k - 1}{k - 1} + \frac{k - 1}{k}) - (- \frac{⌊ r ⌋}{⌊ r ⌋ + 1} + \frac{⌊ r ⌋}{r}) - (- \frac{⌊ r ⌋ + 1}{⌊ r ⌋ + 2} + \frac{⌊ r ⌋ + 1}{⌊ r ⌋ + 1}) \\ = & \sum_{k = 2}^{⌊ r ⌋ + 2} \frac{1}{k} + 1 - \frac{1}{⌊ r ⌋ + 1} - \frac{⌊ r ⌋}{r} - \frac{1}{⌊ r ⌋ + 2} \\ = & H_{⌊ r ⌋ + 2} - \frac{1}{⌊ r ⌋ + 1} - \frac{1}{⌊ r ⌋ + 2} - \frac{⌊ r ⌋}{r} \\ = & H_{⌊ r ⌋} - \frac{⌊ r ⌋}{r} \end{aligned}

なので，

\int_{1}^{r} \frac{⌊ t ⌋}{t^{2}} d t = H_{⌊ r ⌋} - \frac{⌊ r ⌋}{r}

です．

◼

では，定理の証明に移ります．

解説

\begin{aligned} \int_{0}^{1} (⌊ \frac{α}{x} ⌋ - α ⌊ \frac{1}{x} ⌋) d x \\ = & lim_{ε \to + 0} \int_{ε}^{1} (⌊ \frac{α}{x} ⌋ - α ⌊ \frac{1}{x} ⌋) d x \\ = & lim_{ε \to + 0} (\int_{\frac{α}{ε}}^{α} ⌊ t ⌋ (- \frac{α d t}{t^{2}}) - α \int_{\frac{1}{ε}}^{1} ⌊ t ⌋ (- \frac{d t}{t^{2}})) \\ = & lim_{ε \to + 0} α (- \int_{1}^{α} \frac{⌊ t ⌋}{t^{2}} d t + \int_{1}^{\frac{α}{ε}} \frac{⌊ t ⌋}{t^{2}} d t - \int_{1}^{\frac{1}{ε}} \frac{⌊ t ⌋}{t^{2}} d t) \\ = & lim_{ε \to + 0} α (- (H_{⌊ α ⌋} - \frac{⌊ α ⌋}{α}) + (H_{⌊ \frac{α}{ε} ⌋} - \frac{⌊ \frac{α}{ε} ⌋}{\frac{α}{ε}}) - (H_{⌊ \frac{1}{ε} ⌋} - \frac{⌊ \frac{1}{ε} ⌋}{\frac{1}{ε}})) \\ = & lim_{ε \to + 0} α (- H_{⌊ α ⌋} + \frac{⌊ α ⌋}{α} + (H_{⌊ \frac{α}{ε} ⌋} - \ln ⌊ \frac{α}{ε} ⌋) + \ln \frac{⌊ \frac{α}{ε} ⌋}{\frac{α}{ε}} - \frac{⌊ \frac{α}{ε} ⌋}{\frac{α}{ε}} - (H_{⌊ \frac{1}{ε} ⌋} - \ln ⌊ \frac{1}{ε} ⌋) - \ln \frac{⌊ \frac{1}{ε} ⌋}{\frac{1}{ε}} + \frac{⌊ \frac{1}{ε} ⌋}{\frac{1}{ε}} + \ln α) \\ = & α (- H_{⌊ α ⌋} + \frac{⌊ α ⌋}{α} + γ + \ln 1 - 1 - γ - \ln 1 + 1 + \ln α) \\ = & - α H_{⌊ α ⌋} + ⌊ α ⌋ + α \ln α \\ = & - α H_{0} + 0 + α \ln α \\ = & α \ln α \end{aligned}

なので，

\int_{0}^{1} (⌊ \frac{α}{x} ⌋ - α ⌊ \frac{1}{x} ⌋) d x = α \ln α

です．

◼

投稿日：2021年2月6日

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微分積分学，数理論理学，順序数解析が好きです．ここでは主に微積や級数の話題をすると思います．記事まとめは下のリンクからどうぞ．

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