[@integralsbot](https://twitter.com/integralsbot)さんがツイートした[こちらの定理](https://twitter.com/integralsbot/status/1372385859807313925)の解説です．

&&&thm
以下の等式が成り立ちます．ただし$n\in\Z_{\geq 0}$，$a\in\C$とし，$\Re a>1$を満たすとします．
$\d\i{x}{0}{1}{\frac{x^n\ln^{a-1}\frac{1}{x}}{1-x}}=\Gamma\r{a}\r{\zeta\r{a}-H_{n,a}}$
&&&
&&&prf 
<details><summary>解説</summary>
\begin{align*}
&\i{x}{0}{1}{\frac{x^n\ln^{a-1}\frac{1}{x}}{1-x}}\\
=&\i{x}{0}{1}{\r{x^n\ln^{a-1}\frac{1}{x}}\su{k}{0}{\infty}{x^k}}\\
=&\i{x}{0}{1}{\r{-\su{k}{0}{\infty}{\frac{1}{\r{n+1+k}^a}\r{\r{n+1+k}\ln\frac{1}{x}}^{a-1}e^{-\r{n+1+k}\ln\frac{1}{x}}\r{n+1+k}\r{-\frac{1}{x}}}}}\\
=&\s{\su{k}{0}{\infty}{\frac{\Gamma\r{a,\r{n+1+k}\ln\frac{1}{x}}}{\r{n+1+k}^a}}}_{x=0}^1\\
=&\su{k}{0}{\infty}{\frac{\Gamma\r{a}}{\r{n+1+k}^a}}\\
=&\Gamma\r{a}\su{k}{n+1}{\infty}{\frac{1}{k^a}}\\
=&\Gamma\r{a}\r{\zeta\r{a}-H_{n,a}}
\end{align*}
なので，$\d\i{x}{0}{1}{\frac{x^n\ln^{a-1}\frac{1}{x}}{1-x}}=\Gamma\r{a}\r{\zeta\r{a}-H_{n,a}}$です．$\blacksquare$
</details>
&&&
余談ですが，$n$を$\Re q>0$を満たす$q\in\C$に拡張すると，フルヴィッツのゼータ関数を使って$\d\i{x}{0}{1}{\frac{x^q\ln^{a-1}\frac{1}{x}}{1-x}}=\Gamma\r{a}\zeta\r{a,q+1}$となります．

解説13

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