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解説5

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追記

今更(2021/03/15)気づいたんですが,これ 解説8 の特殊な場合(s=0)なので直ちに示せますね……まあこの記事は消さずに置いときます.

@integralsbot さんがツイートした こちらの定理 の解説です.

以下の等式が成り立ちます.
011x1dx=ζ(2)1

解説
011x1dx=limε+0ε11x1dx=limε+01ε1t1(dtt2)=limε+0(k=11εkk+1dttt21ε1ε+1dttt2)=limε+0(k=11εkk+1dtkt21ε1ε+1dt1εt2)=limε+0(k=11ε[1kt]t=kk+1[11εt]t=1ε1ε+1)=limε+0(k=11ε(1k+11k+1k2)+11ε11ε+1ε1ε)=limε+0(11ε+11+H1ε,211ε+1+11εε1ε)=limε+0(H1ε,21+11εε1ε)=limε+0(H1ε,21+11ε11εε)=ζ(2)1+000=ζ(2)1
なので,011x1dx=ζ(2)1です.
投稿日:202128
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投稿者

微分積分学,数理論理学,順序数解析が好きです.ここでは主に微積や級数の話題をすると思います.記事まとめは下のリンクからどうぞ.

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