0

解説16

37
0
$$\newcommand{a}[1]{\left\langle#1\right\rangle} \newcommand{arccot}[0]{\mathrm{arccot}} \newcommand{arccsc}[0]{\mathrm{arccsc}} \newcommand{arcosh}[0]{\mathrm{arcosh}} \newcommand{arcoth}[0]{\mathrm{arcoth}} \newcommand{arcsch}[0]{\mathrm{arcsch}} \newcommand{arcsec}[0]{\mathrm{arcsec}} \newcommand{arsech}[0]{\mathrm{arsech}} \newcommand{arsinh}[0]{\mathrm{arsinh}} \newcommand{artanh}[0]{\mathrm{artanh}} \newcommand{c}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{ce}[1]{\left\lceil#1\right\rceil} \newcommand{class}[3]{C^{#1}\r{#2;#3}} \newcommand{csch}[0]{\mathrm{csch}} \newcommand{d}[0]{\displaystyle} \newcommand{D}[0]{\mathbb{D}} \newcommand{dd}[0]{\mathrm{d}} \newcommand{div}[0]{\mathrm{div}} \newcommand{division}[0]{÷} \newcommand{dv}[1]{\frac{\dd}{\dd#1}} \newcommand{eq}[2]{\exists#1\ \mathrm{s.t.}\ #2} \newcommand{f}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor} \newcommand{grad}[0]{\mathrm{grad}\ } \newcommand{half}[0]{\frac{1}{2}} \newcommand{halfpi}[0]{\frac{\pi}{2}} \newcommand{i}[4]{\int_{#2}^{#3}#4\mathrm{d}#1} \newcommand{l}[3]{\lim_{#1\rightarrow#2}#3} \newcommand{map}[2]{\mathrm{Map}\r{#1,#2}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{p}[4]{\prod_{#1=#2}^{#3}#4} \newcommand{pdv}[1]{\frac{\partial}{\partial#1}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{r}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{rot}[0]{\mathrm{rot}\ } \newcommand{s}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{sdif}[2]{#1\backslash#2} \newcommand{sech}[0]{\mathrm{sech}} \newcommand{set}[2]{\c{#1:#2}} \newcommand{sll}[2]{\left[#1,#2\right[} \newcommand{slr}[2]{\left[#1,#2\right]} \newcommand{srl}[2]{\left]#1,#2\right[} \newcommand{srr}[2]{\left]#1,#2\right]} \newcommand{su}[4]{\sum_{#1=#2}^{#3}#4} \newcommand{uq}[2]{\forall#1,\ #2} \newcommand{v}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

@integralsbot さんがツイートした こちらの定理 の解説です.

以下の等式が成り立ちます.ただし$a\in\C$$s\in\C$とし,$\Re a>0$$\Re s>1$を満たすとします.
$\d\i{x}{0}{1}{\r{\frac{1}{\ln x}+\frac{1}{1-x}}x^{a-1}\ln^{s-1}\frac{1}{x}}=\Gamma\r{s}\r{\zeta\r{s,a}+\frac{a^{1-s}}{1-s}}$

ツイート内容では$\mathfrak{R}s>0$となっていますが,この範囲全体では成り立ちません.より狭い範囲$\mathfrak{R}s>1$で成り立ちます.

今回$\zeta$はフルヴィッツゼータ関数です,多重ゼータ関数やその他のゼータ関数ではありません.

解説
\begin{align*} &\i{x}{0}{1}{\r{\frac{1}{\ln x}+\frac{1}{1-x}}x^{a-1}\ln^{s-1}\frac{1}{x}}\\ =&\i{x}{0}{1}{\r{-\frac{1}{\ln\frac{1}{x}}+\su{k}{0}{\infty}{x^k}}x^a\frac{1}{x}\ln^{s-1}\frac{1}{x}}\\ =&\i{x}{0}{1}{\r{-\r{\ln^{s-2}\frac{1}{x}}x^a\frac{1}{x}+\r{\ln^{s-1}\frac{1}{x}}\frac{1}{x}\su{k}{0}{\infty}{x^{a+k}}}}\\ =&\i{x}{0}{1}{\r{a^{1-s}\r{a\ln\frac{1}{x}}^{s-2}e^{-a\ln\frac{1}{x}}\r{-\frac{a}{x}}-\su{k}{0}{\infty}{\frac{1}{\r{a+k}^s}\r{\r{a+k}\ln\frac{1}{x}}^{s-1}e^{-\r{a+k}\ln\frac{1}{x}}\r{-\frac{a+k}{x}}}}}\\ =&\s{-a^{1-s}\Gamma\r{s-1,a\ln\frac{1}{x}}+\su{k}{0}{\infty}{\frac{\Gamma\r{s,\r{a+k}\ln\frac{1}{x}}}{\r{a+k}^s}}}_{x=0}^1\\ =&-a^{1-s}\Gamma\r{s-1}+\su{k}{0}{\infty}{\frac{\Gamma\r{s}}{\r{a+k}^s}}\\ =&-a^{1-s}\frac{\Gamma\r{s}}{s-1}+\Gamma\r{s}\zeta\r{s,a}\\ =&\Gamma\r{s}\r{\zeta\r{s,a}+\frac{a^{1-s}}{1-s}} \end{align*}
なので,$\d\i{x}{0}{1}{\r{\frac{1}{\ln x}+\frac{1}{1-x}}x^{a-1}\ln^{s-1}\frac{1}{x}}=\Gamma\r{s}\r{\zeta\r{s,a}+\frac{a^{1-s}}{1-s}}$です.$\blacksquare$
投稿日:2021323

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微分積分学,数理論理学,順序数解析が好きです.ここでは主に微積や級数の話題をすると思います.記事まとめは下のリンクからどうぞ.

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