[@integralsbot](https://twitter.com/integralsbot)さんがツイートした[こちらの定理](https://twitter.com/integralsbot/status/1373955413628964864)の解説です．

&&&thm
以下の等式が成り立ちます．ただし$a\in\C$，$s\in\C$とし，$\Re a>0$，$\Re s>1$を満たすとします．
$\d\i{x}{0}{1}{\r{\frac{1}{\ln x}+\frac{1}{1-x}}x^{a-1}\ln^{s-1}\frac{1}{x}}=\Gamma\r{s}\r{\zeta\r{s,a}+\frac{a^{1-s}}{1-s}}$
&&&
&&&rem 
ツイート内容では$\mathfrak{R}s>0$となっていますが，この範囲全体では成り立ちません．より狭い範囲$\mathfrak{R}s>1$で成り立ちます．
&&&
&&&rem
今回$\zeta$はフルヴィッツゼータ関数です，多重ゼータ関数やその他のゼータ関数ではありません．
&&&
&&&prf 
<details><summary>解説</summary>
\begin{align*}
&\i{x}{0}{1}{\r{\frac{1}{\ln x}+\frac{1}{1-x}}x^{a-1}\ln^{s-1}\frac{1}{x}}\\
=&\i{x}{0}{1}{\r{-\frac{1}{\ln\frac{1}{x}}+\su{k}{0}{\infty}{x^k}}x^a\frac{1}{x}\ln^{s-1}\frac{1}{x}}\\
=&\i{x}{0}{1}{\r{-\r{\ln^{s-2}\frac{1}{x}}x^a\frac{1}{x}+\r{\ln^{s-1}\frac{1}{x}}\frac{1}{x}\su{k}{0}{\infty}{x^{a+k}}}}\\
=&\i{x}{0}{1}{\r{a^{1-s}\r{a\ln\frac{1}{x}}^{s-2}e^{-a\ln\frac{1}{x}}\r{-\frac{a}{x}}-\su{k}{0}{\infty}{\frac{1}{\r{a+k}^s}\r{\r{a+k}\ln\frac{1}{x}}^{s-1}e^{-\r{a+k}\ln\frac{1}{x}}\r{-\frac{a+k}{x}}}}}\\
=&\s{-a^{1-s}\Gamma\r{s-1,a\ln\frac{1}{x}}+\su{k}{0}{\infty}{\frac{\Gamma\r{s,\r{a+k}\ln\frac{1}{x}}}{\r{a+k}^s}}}_{x=0}^1\\
=&-a^{1-s}\Gamma\r{s-1}+\su{k}{0}{\infty}{\frac{\Gamma\r{s}}{\r{a+k}^s}}\\
=&-a^{1-s}\frac{\Gamma\r{s}}{s-1}+\Gamma\r{s}\zeta\r{s,a}\\
=&\Gamma\r{s}\r{\zeta\r{s,a}+\frac{a^{1-s}}{1-s}}
\end{align*}
なので，$\d\i{x}{0}{1}{\r{\frac{1}{\ln x}+\frac{1}{1-x}}x^{a-1}\ln^{s-1}\frac{1}{x}}=\Gamma\r{s}\r{\zeta\r{s,a}+\frac{a^{1-s}}{1-s}}$です．$\blacksquare$
</details>
&&&

解説16

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