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大学数学基礎解説
解説16
37
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$$\newcommand{a}[1]{\left\langle#1\right\rangle}
\newcommand{arccot}[0]{\mathrm{arccot}}
\newcommand{arccsc}[0]{\mathrm{arccsc}}
\newcommand{arcosh}[0]{\mathrm{arcosh}}
\newcommand{arcoth}[0]{\mathrm{arcoth}}
\newcommand{arcsch}[0]{\mathrm{arcsch}}
\newcommand{arcsec}[0]{\mathrm{arcsec}}
\newcommand{arsech}[0]{\mathrm{arsech}}
\newcommand{arsinh}[0]{\mathrm{arsinh}}
\newcommand{artanh}[0]{\mathrm{artanh}}
\newcommand{c}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}}
\newcommand{ce}[1]{\left\lceil#1\right\rceil}
\newcommand{class}[3]{C^{#1}\r{#2;#3}}
\newcommand{csch}[0]{\mathrm{csch}}
\newcommand{d}[0]{\displaystyle}
\newcommand{D}[0]{\mathbb{D}}
\newcommand{dd}[0]{\mathrm{d}}
\newcommand{div}[0]{\mathrm{div}}
\newcommand{division}[0]{÷}
\newcommand{dv}[1]{\frac{\dd}{\dd#1}}
\newcommand{eq}[2]{\exists#1\ \mathrm{s.t.}\ #2}
\newcommand{f}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor}
\newcommand{grad}[0]{\mathrm{grad}\ }
\newcommand{half}[0]{\frac{1}{2}}
\newcommand{halfpi}[0]{\frac{\pi}{2}}
\newcommand{i}[4]{\int_{#2}^{#3}#4\mathrm{d}#1}
\newcommand{l}[3]{\lim_{#1\rightarrow#2}#3}
\newcommand{map}[2]{\mathrm{Map}\r{#1,#2}}
\newcommand{N}[0]{\mathbb{N}}
\newcommand{p}[4]{\prod_{#1=#2}^{#3}#4}
\newcommand{pdv}[1]{\frac{\partial}{\partial#1}}
\newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}}
\newcommand{r}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{R}[0]{\mathbb{R}}
\newcommand{rot}[0]{\mathrm{rot}\ }
\newcommand{s}[1]{\left[#1\right]}
\newcommand{sdif}[2]{#1\backslash#2}
\newcommand{sech}[0]{\mathrm{sech}}
\newcommand{set}[2]{\c{#1:#2}}
\newcommand{sll}[2]{\left[#1,#2\right[}
\newcommand{slr}[2]{\left[#1,#2\right]}
\newcommand{srl}[2]{\left]#1,#2\right[}
\newcommand{srr}[2]{\left]#1,#2\right]}
\newcommand{su}[4]{\sum_{#1=#2}^{#3}#4}
\newcommand{uq}[2]{\forall#1,\ #2}
\newcommand{v}[1]{\left|#1\right|}
\newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}}
$$
@integralsbot さんがツイートした こちらの定理 の解説です．
以下の等式が成り立ちます．ただし$a\in\C$，$s\in\C$とし，$\Re a>0$，$\Re s>1$を満たすとします．
$\d\i{x}{0}{1}{\r{\frac{1}{\ln x}+\frac{1}{1-x}}x^{a-1}\ln^{s-1}\frac{1}{x}}=\Gamma\r{s}\r{\zeta\r{s,a}+\frac{a^{1-s}}{1-s}}$
ツイート内容では$\mathfrak{R}s>0$となっていますが，この範囲全体では成り立ちません．より狭い範囲$\mathfrak{R}s>1$で成り立ちます．
今回$\zeta$はフルヴィッツゼータ関数です，多重ゼータ関数やその他のゼータ関数ではありません．
解説
\begin{align*} &\i{x}{0}{1}{\r{\frac{1}{\ln x}+\frac{1}{1-x}}x^{a-1}\ln^{s-1}\frac{1}{x}}\\ =&\i{x}{0}{1}{\r{-\frac{1}{\ln\frac{1}{x}}+\su{k}{0}{\infty}{x^k}}x^a\frac{1}{x}\ln^{s-1}\frac{1}{x}}\\ =&\i{x}{0}{1}{\r{-\r{\ln^{s-2}\frac{1}{x}}x^a\frac{1}{x}+\r{\ln^{s-1}\frac{1}{x}}\frac{1}{x}\su{k}{0}{\infty}{x^{a+k}}}}\\ =&\i{x}{0}{1}{\r{a^{1-s}\r{a\ln\frac{1}{x}}^{s-2}e^{-a\ln\frac{1}{x}}\r{-\frac{a}{x}}-\su{k}{0}{\infty}{\frac{1}{\r{a+k}^s}\r{\r{a+k}\ln\frac{1}{x}}^{s-1}e^{-\r{a+k}\ln\frac{1}{x}}\r{-\frac{a+k}{x}}}}}\\ =&\s{-a^{1-s}\Gamma\r{s-1,a\ln\frac{1}{x}}+\su{k}{0}{\infty}{\frac{\Gamma\r{s,\r{a+k}\ln\frac{1}{x}}}{\r{a+k}^s}}}_{x=0}^1\\ =&-a^{1-s}\Gamma\r{s-1}+\su{k}{0}{\infty}{\frac{\Gamma\r{s}}{\r{a+k}^s}}\\ =&-a^{1-s}\frac{\Gamma\r{s}}{s-1}+\Gamma\r{s}\zeta\r{s,a}\\ =&\Gamma\r{s}\r{\zeta\r{s,a}+\frac{a^{1-s}}{1-s}} \end{align*}
なので，$\d\i{x}{0}{1}{\r{\frac{1}{\ln x}+\frac{1}{1-x}}x^{a-1}\ln^{s-1}\frac{1}{x}}=\Gamma\r{s}\r{\zeta\r{s,a}+\frac{a^{1-s}}{1-s}}$です．$\blacksquare$
投稿日：2021年3月23日
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