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大学数学基礎解説

解説12

積分,リーマンゼータ関数
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@integralsbot さんがツイートした こちらの定理 の解説です．

以下の等式が成り立ちます．ただしs∈Cとし，Re⁡s>2を満たすとします．
∫1∞{x}2xs+1dx=1s−2−ζ(s)s−2ζ(s−1)s(s−1)

ツイート内容ではRs>1となっていますが，この範囲全体では成り立ちません．より狭い範囲Rs>2で成り立ちます．

ツイート内容では右辺が1s−2−ζ(s)s−2ζ(s−1)s(s−2)となっていますが，1s−2−ζ(s)s−2ζ(s−1)s(s−1)が正しいです．

解説
∫1∞{x}2xs+1dx=limR→∞∫1R{x}2xs+1dx=limR→∞(∑k=2⌊R⌋+2∫k−1k{x}2xs+1dx−∫R⌊R⌋+1{x}2xs+1dx−∫⌊R⌋+1⌊R⌋+2{x}2xs+1dx)=limR→∞(∑k=2⌊R⌋+2∫k−1k(x−k+1)2xs+1dx−∫R⌊R⌋+1(x−⌊R⌋)2xs+1dx−∫⌊R⌋+1⌊R⌋+2(x−⌊R⌋−1)2xs+1dx)=limR→∞(∑k=2⌊R⌋+2∫k−1k(x1−s−2(k−1)x−s+(k−1)2x−1−s)dx−∫R⌊R⌋+1(x1−s−2⌊R⌋x−s+⌊R⌋2x−1−s)dx−∫⌊R⌋+1⌊R⌋+2(x1−s−2(⌊R⌋+1)x−s+(⌊R⌋+1)2x−1−s)dx)=limR→∞(∑k=2⌊R⌋+2[x2−s2−s−2(k−1)x1−s1−s+(k−1)2x−s−s]x=k−1k−[x2−s2−s−2⌊R⌋x1−s1−s+⌊R⌋2x−s−s]x=R⌊R⌋+1−[x2−s2−s−2(⌊R⌋+1)x1−s1−s+(⌊R⌋+1)2x−s−s]x=⌊R⌋+1⌊R⌋+2)=limR→∞(∑k=2⌊R⌋+2(1s−2(1(k−1)s−2−1ks−2)−1s(1(k−1)s−2−1ks−2)−1s1ks−2s(s−1)(1(k−1)s−2−1ks−2)−2s(s−1)1ks−1)−((⌊R⌋+1)2−s2−s−2(⌊R⌋+1)(⌊R⌋+1)1−s1−s+(⌊R⌋+1)2(⌊R⌋+1)−s−s−1s1(⌊R⌋+1)s−2s(s−1)1(⌊R⌋+1)s−1+1(s−2)Rs−2−2⌊R⌋(s−1)Rs−1+⌊R⌋2sRs)−(−1s−21(⌊R⌋+2)s−2+1s1(⌊R⌋+2)s−2−1s1(⌊R⌋+2)s+2s(s−1)1(⌊R⌋+2)s−2−2s(s−1)1(⌊R⌋+2)s−1−(⌊R⌋+1)2−s2−s+2(⌊R⌋+1)(⌊R⌋+1)1−s1−s−(⌊R⌋+1)2(⌊R⌋+1)−s−s))=limR→∞(1s−2(1−1(⌊R⌋+2)s−2)−1s(1−1(⌊R⌋+2)s−2)−1s(H⌊R⌋+2,s−1)−2s(s−1)(1−1(⌊R⌋+2)s−2)−2s(s−1)(H⌊R⌋+2,s−1−1)−(−1s−21(⌊R⌋+2)s−2+1s1(⌊R⌋+2)s−2−1s1(⌊R⌋+2)s+2s(s−1)1(⌊R⌋+2)s−2−2s(s−1)1(⌊R⌋+2)s−1−1s1(⌊R⌋+1)s−2s(s−1)1(⌊R⌋+1)s−1+1(s−2)Rs−2−2⌊R⌋(s−1)Rs−1+⌊R⌋2sRs))=limR→∞(1s−2−H⌊R⌋,ss−2H⌊R⌋,s−1s(s−1)−1(s−2)Rs−2+2⌊R⌋(s−1)Rs−1−⌊R⌋2sRs)=limR→∞(1s−2−H⌊R⌋,ss−2H⌊R⌋,s−1s(s−1)−1s−21Rs−2+2⌊R⌋R1s−11Rs−2−(⌊R⌋R)21s1Rs−2)=1s−2−ζ(s)s−2ζ(s−1)s(s−1)−1s−2⋅0+2⋅11s−1⋅0−121s⋅0=1s−2−ζ(s)s−2ζ(s−1)s(s−1)
なので，∫1∞{x}2xs+1dx=1s−2−ζ(s)s−2ζ(s−1)s(s−1)です．◼
投稿日：2021年3月14日
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的場 沙雪
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微分積分学，数理論理学，順序数解析が好きです．ここでは主に微積や級数の話題をすると思います．記事まとめは下のリンクからどうぞ．

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