[@integralsbot](https://twitter.com/integralsbot)さんがツイートした[こちらの定理](https://twitter.com/integralsbot/status/1364359588951121920)の解説です．

&&&thm
以下の等式が成り立ちます．
$\d\i{x}{0}{\infty}{\frac{\ln x}{\cosh^2x}}=\ln\frac{\pi}{4}-\gamma$
&&&
&&&prf 
<details><summary>解説</summary>
\begin{align*}
&\i{x}{0}{\infty}{\frac{\ln x}{\cosh^2x}}\\
=&\lim_{s\searrow1}\pdv{s}\i{x}{0}{\infty}{\frac{x^{s-1}}{\cosh^2x}}\\
=&\lim_{s\searrow1}\pdv{s}\frac{2}{2^{s-1}}\i{x}{0}{\infty}{\frac{\r{2x}^{s-1}e^{-2x}}{\r{1+e^{-2x}}^2}2}\\
=&\lim_{s\searrow1}\pdv{s}\frac{1}{2^{s-2}}\i{t}{0}{\infty}{\frac{t^{s-1}e^{-t}}{\r{1+e^{-t}}^2}}\\
=&\lim_{s\searrow1}\pdv{s}\frac{1}{2^{s-2}}\i{t}{0}{\infty}{t^{s-1}e^{-t}\su{n}{1}{\infty}{\r{-1}^{n-1}ne^{-\r{n-1}t}}}\\
=&\lim_{s\searrow1}\pdv{s}\frac{1}{2^{s-2}}\su{n}{1}{\infty}{\frac{\r{-1}^{n-1}}{n^{s-1}}\i{t}{0}{\infty}{\r{nt}^{s-1}e^{-nt}n}}\\
=&\lim_{s\searrow1}\frac{1}{2^{s-2}}\su{n}{1}{\infty}{\frac{\r{-1}^{n-1}}{n^{s-1}}\i{t}{0}{\infty}{u^{s-1}e^{-u}}}\\
=&\lim_{s\searrow1}\pdv{s}\frac{\r{1-2^{2-s}}\zeta\r{s-1}\Gamma\r{s}}{2^{s-2}}\\
=&\lim_{s\searrow1}\frac{\r{1-2^{2-s}}\zeta\r{s-1}\Gamma\r{s}}{2^{s-2}}\r{\frac{2^{2-s}\ln2}{1-2^{2-s}}+\frac{\zeta^\prime\r{s-1}}{\zeta\r{s-1}}+\psi\r{s}-\ln2}\\
=&\frac{\r{1-2}\zeta\r{0}\Gamma\r{1}}{2^{-1}}\r{\frac{2\ln2}{1-2}+\frac{\zeta^\prime\r{0}}{\zeta\r{0}}+\psi\r{1}-\ln2}\\
=&-2\r{-\frac{1}{2}}\r{-2\ln2+\frac{-\frac{1}{2}\ln2\pi}{-\frac{1}{2}}-\gamma-\ln2}\\
=&\ln2\pi-3\ln2-\gamma\\
=&\ln\frac{\pi}{4}-\gamma
\end{align*}
なので，$\d\i{x}{0}{\infty}{\frac{\ln x}{\cosh^2x}}=\ln\frac{\pi}{4}-\gamma$です．$\blacksquare$
</details>
&&&

解説10

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