解説17

以下の等式が成り立ちます．
$\int_{0}^{\infty} \frac{1 + 2 \cos x + x \sin x}{1 + 2 x \sin x + x^{2}} d x = \frac{π}{1 + Ω}$

まず補題を証明します．

以下の等式が成り立ちます．ただし $lim_{R \to \infty}$ は $R$ が $R_{> 1}$ 上を動くものとします．
$lim_{R \to \infty} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \frac{2 + e^{R e^{i θ}}}{R e^{i θ} + e^{R e^{i θ}}} i R e^{i θ} d θ = 2 π i$

解説

1

超過の実数

R

に対して，

\begin{aligned} | \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \frac{2 + e^{R e^{i θ}}}{R e^{i θ} + e^{R e^{i θ}}} i R e^{i θ} d θ - 2 π i | \\ = & | \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} (\frac{2 + e^{R e^{i θ}}}{R e^{i θ} + e^{R e^{i θ}}} i R e^{i θ} - 2 i) d θ | \\ = & | \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \frac{(R e^{i θ} - 2) i e^{R e^{i θ}}}{R e^{i θ} + e^{R e^{i θ}}} d θ | \\ = & | \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \frac{(R - 2 e^{- i θ}) i e^{R e^{i θ}}}{R + e^{R e^{i θ} - i θ}} d θ | \\ = & | \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \frac{(R - 2 e^{- i θ}) e^{R \cos θ} i e^{i R \sin θ}}{R + e^{R \cos θ} e^{i R \sin θ - i θ}} d θ | \\ \leq & \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} | \frac{(R - 2 e^{- i θ}) e^{R \cos θ} i e^{i R \sin θ}}{R + e^{R \cos θ} e^{i R \sin θ - i θ}} | d θ \\ = & \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \frac{| R - 2 e^{- i θ} | e^{R \cos θ}}{| R + e^{R \cos θ} e^{i R \sin θ - i θ} |} d θ \\ \leq & \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \frac{(R + 2) e^{R \cos θ}}{R - e^{R \cos θ}} d θ \\ \leq & \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \frac{(R + 2) e^{R \cos θ}}{R - e^{R \cdot 0}} d θ \\ = & \frac{1 + \frac{2}{R}}{1 - \frac{1}{R}} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} e^{R \cos θ} d θ \\ = & \frac{1 + \frac{2}{R}}{1 - \frac{1}{R}} (\int_{\frac{π}{2}}^{π} e^{R \cos θ} d θ + \int_{π}^{\frac{3 π}{2}} e^{R \cos θ} d θ) \\ \leq & \frac{1 + \frac{2}{R}}{1 - \frac{1}{R}} (\int_{\frac{π}{2}}^{π} e^{- R \frac{2}{π} (θ - \frac{π}{2})} d θ + \int_{π}^{\frac{3 π}{2}} e^{R \frac{2}{π} (θ - \frac{3 π}{2})} d θ) \\ = & \frac{1 + \frac{2}{R}}{1 - \frac{1}{R}} ({[- \frac{π}{2 R} e^{- R \frac{2}{π} (θ - \frac{π}{2})}]}_{θ = \frac{π}{2}}^{π} + {[\frac{π}{2 R} e^{R \frac{2}{π} (θ - \frac{3 π}{2})}]}_{θ = π}^{\frac{3 π}{2}}) \\ = & \frac{1 + \frac{2}{R}}{1 - \frac{1}{R}} (- \frac{π}{2 R} (e^{- R} - 1) + \frac{π}{2 R} (1 - e^{- R})) \\ = & \frac{1 + \frac{2}{R}}{1 - \frac{1}{R}} \frac{π}{R} (1 - e^{- R}) \end{aligned}

であり，

lim_{R \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{R}}{1 - \frac{1}{R}} \frac{π}{R} (1 - e^{- R}) = \frac{1 + 0}{1 - 0} \cdot 0 \cdot (1 - 0) = 0

なので，

lim_{R \to \infty} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \frac{2 + e^{R e^{i θ}}}{R e^{i θ} + e^{R e^{i θ}}} i R e^{i θ} d θ = 2 π i

です．

◼

以下の論理式が成り立ちます．
$\forall z \in C, (Re z \leq 0 \to (z + e^{z} = 0 \leftrightarrow z = - Ω))$

解説

Re z \leq 0

なる複素数

z

を任意にとります．

z + e^{z} = 0

と仮定します．

| Im z | \leq | z | = | - e^{z} | = e^{Re z} \leq 1

なので，

| Im z | \leq 1

です．

\begin{aligned} z + e^{z} = 0 \\ ⟹ & Re z + i Im z + e^{Re z + i Im z} = 0 \\ ⟹ & Re z + i Im z + e^{Re z} (\cos Im z + i \sin Im z) = 0 \\ ⟹ & Re z + e^{Re z} \cos Im z = 0 \land Im z + e^{Re z} \sin Im z = 0 \end{aligned}

であり，ここで

Im z \neq 0

と仮定すると

| Im z | \leq 1

に注意すれば

\sin Im z \neq 0

なので，

Im z + e^{Re z} \sin Im z = 0

より

e^{Re z} = - \frac{Im z}{\sin Im z}

です．よって

Re z + e^{Re z} \cos Im z = 0

より

Re z = \frac{Im z}{\tan Im z}

ですが，

| Im z | \leq 1

に注意すれば

\frac{Im z}{\tan Im z} > 0

より

Re z > 0

となり，

Re z \leq 0

に矛盾します．
よって

Im z = 0

です．

\begin{aligned} z + e^{z} = 0 \\ ⟹ & Re z + e^{Re z} = 0 \\ ⟹ & - Re z e^{- Re z} = 1 \\ ⟹ & - Re z = Ω \\ ⟹ & Re z = - Ω \end{aligned}

で，

Im z = 0

と併せて

z = - Ω

を得ます．
逆に，

z = - Ω

と仮定すると

z + e^{z} = - Ω + e^{- Ω} = - Ω + Ω = 0

です．
以上より，

\forall z \in C, (Re z \leq 0 \to (z + e^{z} = 0 \leftrightarrow z = - Ω))

です．

◼

では，定理の証明に移ります．

解説

\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \frac{1 + 2 \cos x + x \sin x}{1 + 2 x \sin x + x^{2}} d x \\ = & \frac{1}{2 i} \int_{0}^{\infty} (\frac{2 i + 2 i e^{i x} + 2 i e^{- i x} + x e^{i x} - x e^{- i x}}{1 - i x (e^{i x} - e^{- i x}) + x^{2}}) d x \\ = & \frac{1}{2 i} \int_{0}^{\infty} (\frac{(2 + e^{i x}) (x + i e^{- i x}) + (- 2 - e^{- i x}) (x - i e^{i x})}{(x - i e^{i x}) (x + i e^{- i x})}) d x \\ = & \frac{1}{2 i} \int_{0}^{\infty} (\frac{2 + e^{i x}}{x - i e^{i x}} + \frac{- 2 - e^{- i x}}{x + i e^{- i x}}) d x \\ = & \frac{1}{2 i} lim_{R \to \infty} \int_{0}^{R} (\frac{2 + e^{i x}}{x - i e^{i x}} + \frac{- 2 - e^{- i x}}{x + i e^{- i x}}) d x \\ = & \frac{1}{2 i} lim_{R \to \infty} (\int_{0}^{R} \frac{2 + e^{i x}}{i x + e^{i x}} i d x + \int_{R}^{0} \frac{2 + e^{- i x}}{- i x + e^{- i x}} (- i d x)) \\ = & \frac{1}{2 i} lim_{R \to \infty} \int_{- i R}^{i R} \frac{2 + e^{z}}{z + e^{z}} d z \\ = & \frac{1}{2 i} lim_{R \to \infty} (2 π i {Res}_{z = - Ω} (\frac{2 + e^{z}}{z + e^{z}}) - \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \frac{2 + e^{R e^{i θ}}}{R e^{i θ} + e^{R e^{i θ}}} i R e^{i θ} d θ) \\ = & \frac{1}{2 i} (2 π i lim_{z \to - Ω} (z + Ω) \frac{2 + e^{z}}{z + e^{z}} - 2 π i) \\ = & π (lim_{z \to - Ω} (z + Ω) \frac{2 + e^{z}}{z + Ω + e^{z + Ω - Ω} - Ω} - 1) \\ = & π (lim_{z \to - Ω} (z + Ω) \frac{2 + e^{z}}{z + Ω + Ω e^{z + Ω} - Ω} - 1) \\ = & π (lim_{z \to - Ω} \frac{2 + e^{z}}{1 + Ω \frac{e^{z + Ω} - 1}{z + Ω}} - 1) \\ = & π (\frac{2 + e^{- Ω}}{1 + Ω \cdot 1} - 1) \\ = & π (\frac{2 + Ω}{1 + Ω} - 1) \\ = & \frac{π}{1 + Ω} \end{aligned}

なので，

\int_{0}^{\infty} \frac{1 + 2 \cos x + x \sin x}{1 + 2 x \sin x + x^{2}} d x = \frac{π}{1 + Ω}

です．

◼

投稿日：2021年5月19日

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的場沙雪

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微分積分学，数理論理学，順序数解析が好きです．ここでは主に微積や級数の話題をすると思います．記事まとめは下のリンクからどうぞ．

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