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解説2

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@coelaca98715676 さんがツイートした こちらの問題 の解説です.

以下の論理式を満たす実連続関数f:RRを全て求めてください.
nZ1, xMap(Z[1,n],R), f(k=1nxk)=k=1nf(xk)

解答
解説
nZ1, xMap(Z[1,n],R), f(k=1nxk)=k=1nf(xk)を満たす実連続関数f:RRを任意にとります.
f(0)=f(0)+f(0)f(0)=f(0+0)f(0)=f(0)f(0)=0=f(1)0
(p,q)Z>02, f(qp)=ppf(qp)=1pk=1pf(qp)=1pf(k=1pqp)=1pf(q)=1pf(k=1q1)=1pk=1qf(1)=f(1)qp
(p,q)Z>02, f(qp)=f(qp)+f(qp)f(qp)=f(qp+qp)f(1)qp=f(0)+f(1)(qp)=f(1)(qp)
よりxQ, f(x)=f(1)xです.無理数xを任意にとると,xに収束する有理数列{an}n=1がとれて,
f(x)=limnf(an)=limnf(1)an=f(1)x
となるのでxRQ, f(x)=f(1)xです.以上よりxR, f(x)=f(1)xであり,cR s.t. xR, f(x)=cxが得られます.

cR s.t. xR, f(x)=cxを満たす実関数f:RRを任意にとります.fは一次関数なので連続関数であり,
cR s.t. nZ1, xMap(Z[1,n],R), f(k=1nxk)=ck=1nxk=k=1ncxk=k=1nf(xk)
なのでnZ1, xMap(Z[1,n],R), f(k=1nxk)=k=1nf(xk)です.

以上より{fC0(R):nZ1, xMap(Z[1,n],R), f(k=1nxk)=k=1nf(xk)}={fMap(R,R):cR s.t. xR, f(x)=cx}なので求めるものは{fMap(R,R):cR s.t. xR, f(x)=cx}の元全てです.
投稿日:2021131
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微分積分学,数理論理学,順序数解析が好きです.ここでは主に微積や級数の話題をすると思います.記事まとめは下のリンクからどうぞ.

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