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大学数学基礎解説

解説2

コーシーの関数方程式
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@coelaca98715676 さんがツイートした こちらの問題 の解説です．

以下の論理式を満たす実連続関数f:R→Rを全て求めてください．
∀n∈Z≥1, ∀x∈Map(Z∩[1,n],R), f(∑k=1nxk)=∑k=1nf(xk)

解答
解説
∀n∈Z≥1, ∀x∈Map(Z∩[1,n],R), f(∑k=1nxk)=∑k=1nf(xk)を満たす実連続関数f:R→Rを任意にとります．
f(0)=f(0)+f(0)−f(0)=f(0+0)−f(0)=f(0)−f(0)=0=f(1)⋅0
∀(p,q)∈Z>02, f(qp)=ppf(qp)=1p∑k=1pf(qp)=1pf(∑k=1pqp)=1pf(q)=1pf(∑k=1q1)=1p∑k=1qf(1)=f(1)qp
∀(p,q)∈Z>02, f(−qp)=f(−qp)+f(qp)−f(qp)=f(−qp+qp)−f(1)qp=f(0)+f(1)(−qp)=f(1)(−qp)
より∀x∈Q, f(x)=f(1)xです．無理数xを任意にとると，xに収束する有理数列{an}n=1∞がとれて，
f(x)=limn→∞f(an)=limn→∞f(1)an=f(1)x
となるので∀x∈R∖Q, f(x)=f(1)xです．以上より∀x∈R, f(x)=f(1)xであり，∃c∈R s.t. ∀x∈R, f(x)=cxが得られます．

∃c∈R s.t. ∀x∈R, f(x)=cxを満たす実関数f:R→Rを任意にとります．fは一次関数なので連続関数であり，
∃c∈R s.t. ∀n∈Z≥1, ∀x∈Map(Z∩[1,n],R), f(∑k=1nxk)=c∑k=1nxk=∑k=1ncxk=∑k=1nf(xk)
なので∀n∈Z≥1, ∀x∈Map(Z∩[1,n],R), f(∑k=1nxk)=∑k=1nf(xk)です．

以上より{f∈C0(R):∀n∈Z≥1, ∀x∈Map(Z∩[1,n],R), f(∑k=1nxk)=∑k=1nf(xk)}={f∈Map(R,R):∃c∈R s.t. ∀x∈R, f(x)=cx}なので求めるものは{f∈Map(R,R):∃c∈R s.t. ∀x∈R, f(x)=cx}の元全てです．
投稿日：2021年1月31日
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的場 沙雪
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微分積分学，数理論理学，順序数解析が好きです．ここでは主に微積や級数の話題をすると思います．記事まとめは下のリンクからどうぞ．

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