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大学数学基礎解説
解説2
79
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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}}
\newcommand{div}[0]{\mathrm{div}}
\newcommand{division}[0]{÷}
\newcommand{grad}[0]{\mathrm{grad}\ }
\newcommand{N}[0]{\mathbb{N}}
\newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}}
\newcommand{R}[0]{\mathbb{R}}
\newcommand{rot}[0]{\mathrm{rot}\ }
\newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}}
$$
@coelaca98715676 さんがツイートした こちらの問題 の解説です．
以下の論理式を満たす実連続関数$f:\R\to\R$を全て求めてください．
$\displaystyle\forall n\in\Z_{\geq1},\ \forall x\in\mathrm{Map}\left(\Z\cap\left[1,n\right],\R\right),\ f\left(\sum_{k=1}^nx_k\right)=\sum_{k=1}^nf\left(x_k\right)$
解答
解説
$\displaystyle\forall n\in\Z_{\geq1},\ \forall x\in\mathrm{Map}\left(\Z\cap\left[1,n\right],\R\right),\ f\left(\sum_{k=1}^nx_k\right)=\sum_{k=1}^nf\left(x_k\right)$を満たす実連続関数$f:\R\to\R$を任意にとります．
$f\left(0\right)=f\left(0\right)+f\left(0\right)-f\left(0\right)=f\left(0+0\right)-f\left(0\right)=f\left(0\right)-f\left(0\right)=0=f\left(1\right)\cdot0$
$\displaystyle\forall\left(p,q\right)\in\Z_{>0}^2,\ f\left(\frac{q}{p}\right)=\frac{p}{p}f\left(\frac{q}{p}\right)=\frac{1}{p}\sum_{k=1}^pf\left(\frac{q}{p}\right)=\frac{1}{p}f\left(\sum_{k=1}^p\frac{q}{p}\right)=\frac{1}{p}f\left(q\right)=\frac{1}{p}f\left(\sum_{k=1}^q1\right)=\frac{1}{p}\sum_{k=1}^qf\left(1\right)=f\left(1\right)\frac{q}{p}$
$\displaystyle\forall\left(p,q\right)\in\Z_{>0}^2,\ f\left(-\frac{q}{p}\right)=f\left(-\frac{q}{p}\right)+f\left(\frac{q}{p}\right)-f\left(\frac{q}{p}\right)=f\left(-\frac{q}{p}+\frac{q}{p}\right)-f\left(1\right)\frac{q}{p}=f\left(0\right)+f\left(1\right)\left(-\frac{q}{p}\right)=f\left(1\right)\left(-\frac{q}{p}\right)$
より$\displaystyle\forall x\in\Q,\ f\left(x\right)=f\left(1\right)x$です．無理数$x$を任意にとると，$x$に収束する有理数列$\left\{a_n\right\}_{n=1}^\infty$がとれて，
$\displaystyle f\left(x\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}f\left(a_n\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}f\left(1\right)a_n=f\left(1\right)x$
となるので$\displaystyle\forall x\in\R\backslash\Q,\ f\left(x\right)=f\left(1\right)x$です．以上より$\displaystyle\forall x\in\R,\ f\left(x\right)=f\left(1\right)x$であり，$\displaystyle\exists c\in\R\ \mathrm{s.t.}\ \forall x\in\R,\ f\left(x\right)=cx$が得られます．
$\displaystyle\exists c\in\R\ \mathrm{s.t.}\ \forall x\in\R,\ f\left(x\right)=cx$を満たす実関数$f:\R\to\R$を任意にとります．$f$は一次関数なので連続関数であり，
$\displaystyle\exists c\in\R\ \mathrm{s.t.}\ \forall n\in\Z_{\geq1},\ \forall x\in\mathrm{Map}\left(\Z\cap\left[1,n\right],\R\right),\ f\left(\sum_{k=1}^nx_k\right)=c\sum_{k=1}^nx_k=\sum_{k=1}^ncx_k=\sum_{k=1}^nf\left(x_k\right)$
なので$\displaystyle\forall n\in\Z_{\geq1},\ \forall x\in\mathrm{Map}\left(\Z\cap\left[1,n\right],\R\right),\ f\left(\sum_{k=1}^nx_k\right)=\sum_{k=1}^nf\left(x_k\right)$です．
以上より$\displaystyle\left\{f\in C^0\left(\R\right):\forall n\in\Z_{\geq1},\ \forall x\in\mathrm{Map}\left(\Z\cap\left[1,n\right],\R\right),\ f\left(\sum_{k=1}^nx_k\right)=\sum_{k=1}^nf\left(x_k\right)\right\}=\left\{f\in\mathrm{Map}\left(\R,\R\right):\exists c\in\R\ \mathrm{s.t.}\ \forall x\in\R,\ f\left(x\right)=cx\right\}$なので求めるものは$\left\{f\in\mathrm{Map}\left(\R,\R\right):\exists c\in\R\ \mathrm{s.t.}\ \forall x\in\R,\ f\left(x\right)=cx\right\}$の元全てです．
投稿日：2021年1月31日
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