解説7

以下の等式が成り立ちます．
$\int_{0}^{\infty} \frac{\cos \sqrt{x}}{e^{2 π \sqrt{x}} - 1} d x = 1 - \frac{e}{{(e - 1)}^{2}}$

解説

\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \frac{\cos \sqrt{x}}{e^{2 π \sqrt{x}} - 1} d x \\ = & \int_{0}^{\infty} \cos \sqrt{x} \frac{e^{- 2 π \sqrt{x}}}{1 - e^{- 2 π \sqrt{x}}} d x \\ = & \int_{0}^{\infty} \cos \sqrt{x} \sum_{k = 1}^{\infty} e^{- 2 π k \sqrt{x}} d x \\ = & \int_{0}^{\infty} \sum_{k = 1}^{\infty} (e^{- 2 π k \sqrt{x}} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} (\sin \sqrt{x} - 2 π k \cos \sqrt{x}) + (1 + {(2 π k)}^{2}) \cos \sqrt{x}}{1 + {(2 π k)}^{2}} - e^{- 2 π k \sqrt{x}} \frac{1}{\sqrt{x}} \frac{(1 + {(2 π k)}^{2}) (\sin \sqrt{x} - 2 π k \cos \sqrt{x})}{{(1 + {(2 π k)}^{2})}^{2}}) d x \\ = & \int_{0}^{\infty} \sum_{k = 1}^{\infty} (e^{- 2 π k \sqrt{x}} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} (\sin \sqrt{x} - 2 π k \cos \sqrt{x}) - 2 π k \sin \sqrt{x} + {(2 π k)}^{2} \cos \sqrt{x} + \cos \sqrt{x} + 2 π k \sin \sqrt{x}}{1 + {(2 π k)}^{2}} - e^{- 2 π k \sqrt{x}} \frac{1}{\sqrt{x}} \frac{(- 1 + {(2 π k)}^{2}) (- 2 π k \cos \sqrt{x}) + 2 {(2 π k)}^{2} \sin \sqrt{x} + (1 - {(2 π k)}^{2}) \sin \sqrt{x} + 2 (- 2 π k \cos \sqrt{x})}{{(1 + {(2 π k)}^{2})}^{2}}) d x \\ = & \int_{0}^{\infty} \sum_{k = 1}^{\infty} (e^{- 2 π k \sqrt{x}} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} (\sin \sqrt{x} - 2 π k \cos \sqrt{x}) - 2 π k (\sin \sqrt{x} - 2 π k \cos \sqrt{x}) + \cos \sqrt{x} + 2 π k \sin \sqrt{x}}{1 + {(2 π k)}^{2}} - e^{- 2 π k \sqrt{x}} \frac{1}{\sqrt{x}} \frac{- 2 π k ((- 1 + {(2 π k)}^{2}) \cos \sqrt{x} - 4 π k \sin \sqrt{x}) - (- 1 + {(2 π k)}^{2}) \sin \sqrt{x} - 4 π k \cos \sqrt{x}}{{(1 + {(2 π k)}^{2})}^{2}}) d x \\ = & \int_{0}^{\infty} \sum_{k = 1}^{\infty} (\frac{2 \frac{1}{2 \sqrt{x}} e^{- 2 π k \sqrt{x}} (\sin \sqrt{x} - 2 π k \cos \sqrt{x}) + 2 \sqrt{x} (- 2 π k \frac{1}{2 \sqrt{x}}) e^{- 2 π k \sqrt{x}} (\sin \sqrt{x} - 2 π k \cos \sqrt{x}) + 2 \sqrt{x} e^{- 2 π k \sqrt{x}} (\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cos \sqrt{x} + 2 π k \frac{1}{2 \sqrt{x}} \sin \sqrt{x})}{1 + {(2 π k)}^{2}} - \frac{2 (- 2 π k \frac{1}{2 \sqrt{x}}) e^{- 2 π k \sqrt{x}} ((- 1 + {(2 π k)}^{2}) \cos \sqrt{x} - 4 π k \sin \sqrt{x}) + 2 e^{- 2 π k \sqrt{x}} (- (- 1 + {(2 π k)}^{2}) \frac{1}{2 \sqrt{x}} \sin \sqrt{x} - 4 π k \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cos \sqrt{x})}{{(1 + {(2 π k)}^{2})}^{2}}) d x \\ = & \int_{0}^{\infty} \sum_{k = 1}^{\infty} (\frac{2 (\frac{d}{d x} \sqrt{x}) e^{- 2 π k \sqrt{x}} (\sin \sqrt{x} - 2 π k \cos \sqrt{x}) + 2 \sqrt{x} (\frac{d}{d x} e^{- 2 π k \sqrt{x}}) (\sin \sqrt{x} - 2 π k \cos \sqrt{x}) + 2 \sqrt{x} e^{- 2 π k \sqrt{x}} ((\frac{d}{d x} \sin \sqrt{x}) - 2 π k (\frac{d}{d x} \cos \sqrt{x}))}{1 + {(2 π k)}^{2}} - \frac{2 (\frac{d}{d x} e^{- 2 π k \sqrt{x}}) ((- 1 + {(2 π k)}^{2}) \cos \sqrt{x} - 4 π k \sin \sqrt{x}) + 2 e^{- 2 π k \sqrt{x}} ((- 1 + {(2 π k)}^{2}) (\frac{d}{d x} \cos \sqrt{x}) - 4 π k (\frac{d}{d x} \sin \sqrt{x}))}{{(1 + {(2 π k)}^{2})}^{2}}) d x \\ = & {[\sum_{k = 1}^{\infty} (\frac{2 \sqrt{x} e^{- 2 π k \sqrt{x}} (\sin \sqrt{x} - 2 π k \cos \sqrt{x})}{1 + {(2 π k)}^{2}} - \frac{2 e^{- 2 π k \sqrt{x}} ((- 1 + {(2 π k)}^{2}) \cos \sqrt{x} - 4 π k \sin \sqrt{x})}{{(1 + {(2 π k)}^{2})}^{2}})]}_{x = 0}^{\infty} \\ = & \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2 (- 1 + {(2 π k)}^{2})}{{(1 + {(2 π k)}^{2})}^{2}} \\ = & {(\frac{1}{2 π})}^{2} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2 (- {(\frac{1}{2 π})}^{2} + k^{2})}{{({(\frac{1}{2 π})}^{2} + k^{2})}^{2}} \\ = & {(\frac{1}{2 π})}^{2} \sum_{k = 1}^{\infty} (\frac{{(\frac{i}{2 π} + k)}^{2} + {(- \frac{i}{2 π} + k)}^{2}}{{(- \frac{i}{2 π} + k)}^{2} {(\frac{i}{2 π} + k)}^{2}}) \\ = & {(\frac{1}{2 π})}^{2} \sum_{k = 1}^{\infty} (\frac{1}{{(- \frac{i}{2 π} + k)}^{2}} + \frac{1}{{(\frac{i}{2 π} + k)}^{2}}) \\ = & {(\frac{1}{2 π})}^{2} \sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{1}{{(1 - \frac{i}{2 π} + n)}^{2}} + \frac{1}{{(1 + \frac{i}{2 π} + n)}^{2}}) \\ = & {(\frac{1}{2 π})}^{2} (ψ^{(1)} (1 - \frac{i}{2 π}) + ψ^{(1)} (1 + \frac{i}{2 π})) \\ = & {(\frac{1}{2 π})}^{2} (ψ^{(1)} (1 - \frac{i}{2 π}) + ψ^{(1)} (\frac{i}{2 π}) - \frac{1}{{(\frac{i}{2 π})}^{2}}) \\ = & {(\frac{1}{2 π})}^{2} (\frac{π^{2}}{\sin^{2} π \frac{i}{2 π}} + \frac{1}{{(\frac{1}{2 π})}^{2}}) \\ = & {(\frac{1}{2 i \sinh \frac{1}{2}})}^{2} + 1 \\ = & 1 - {(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}} - e^{- \frac{1}{2}}})}^{2} \\ = & 1 - \frac{e}{{(e - 1)}^{2}} \end{aligned}

なので，

\int_{0}^{\infty} \frac{\cos \sqrt{x}}{e^{2 π \sqrt{x}} - 1} d x = 1 - \frac{e}{{(e - 1)}^{2}}

です．

◼

投稿日：2021年2月17日

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的場沙雪

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微分積分学，数理論理学，順序数解析が好きです．ここでは主に微積や級数の話題をすると思います．記事まとめは下のリンクからどうぞ．

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