(2乗)＋(3乗)=(6乗)の正整数解【前編】

【後編】→まだ公開してないよ！

問題

この問題を初等的な知識だけで解いてみよう！というのがこの記事の目標です。長くなってしまいましたので，【前編】と【後編】に分けております。

解答作り

以下，先の問題に解答を与えます。なお，$$x^2+y^3=z^6\cdots \cdots \text{①}$$
とナンバリングしておきます。

$x$,$y$,$z$はそれぞれ互いに素としてよい

$(x,y,z)$は①を満たすとします。この時$x$と$y$は互いに素としても一般性は失われません。実際，$x$と$y$が共通な素因数$p$を持つならば，ある自然数$x_1,y_1$が存在して，$x=p{x}_1$，$y=p{y}_1$と書けますが，このとき①は$$p^2{x}_1^2+p^3{y}_1^3=z^6$$
と書けるので，$z$は$p$の倍数であることが分かります。よって$z=p{z}_1$と書けるので，$$p^2{x}_1^2+p^3{y}_1^3=p^6{z}_1^6$$
となります。$p$で何回割れるかに着目すれば，$x_1$も$p$の倍数でなければなりません。$x_1=p{x}_2$として，$$p^2{x}_2^2+p{y}_1^3=p^4{z}^6$$
ですので，$y_1$も$p$の倍数です。$y_1=p{y}_2$として，$$p{x}_2^2+p^3{y}_2^3=p^3{z}_1^6$$
同様に$x_2$は$p$の倍数だから$x_3=p{x}_2$とすれば，$$\begin{array}{rl}& p^2{x}_3^2+p^2{y}_2^3=p^2{z}_1^6\\ & x_3^2+y_2^3=z_1^6\end{array}$$
であり，$(x_3,y_2,z_1)$も①の解となります。というわけで，$x$と$y$が①を満たすならば$x$と$y$が互いに素の時を考えれば十分だということが分かりました。

同様に$y$と$z$を互いに素，$z$と$x$を互いに素としても一般性は失われないことが分かります。ですのでそれぞれが互いに素であるという仮定のもと，①について考えていくことにします。

$y$と$z$は互いに素としていますので，考えうる組合せとしては次の$2$通りが考えられます。

1. $y$と$z$の偶奇が異なるとき
2. $y$と$z$が共に奇数のとき

それぞれの場合で考えることとしましょう。

$y$と$z$の偶奇が異なるとき

$y$と$z$について，一方が偶数，他方が奇数のときを考えます。
$z^2+y=a$，$z^2-y=b$とすると，$a$も$b$も奇数であり，$$\begin{array}{rl}gcd(a,b)& =gcd(z^2+y,z^2-y)\\ & =gcd(z^2-y,2y)\\ & =gcd(z^2-y,y)\\ & =gcd(z^2,y)=1\end{array}$$と分かります（途中，$z^2-y$が奇数であること，$y$と$z^2$が互いに素であることを用いている。）ので，$a$と$b$は互いに素です。また$z^2$と$y$をそれぞれ$a$と$b$を用いて表しますと，$$z^2={\displaystyle \frac{a+b}{2}},y={\displaystyle \frac{a-b}{2}}$$
となります。。これを①に代入すると，
$$\begin{array}{rl}& x^2+{\left({\displaystyle \frac{a-b}{2}}\right)}^3={\left({\displaystyle \frac{a+b}{2}}\right)}^3\\ \therefore & 4x^2=b(b^2+3a^2)\cdots \cdots \text{②}\end{array}$$
となります。ここで$b$と$b^2+3a^2$の最大公約数を考えると，$a$と$b$が互いに素であることから，その可能性は$1$か$3$しかないことが，互除法を用いることで分かります。それぞれの場合を見ていきましょう。

$gcd(b^2+3a^2,b)=1$のとき

$gcd(b^2+3a^2,b)=1$のとき，$b$は奇数であるから，②より，ある自然数$c$，$d$が存在して$$b=c^2,b^2+3a^2=4d^2,x=cd$$
と表せます。

ここで，次の補題 1 を用意します。

この補題 1 を認めれば，⑤は⭐の形をしているので，$$z^2=c^2=d$$
が従い，これより$(x,y,z)=(c^3,0,c^6)$となるから，①の自然数解とはならないことが結論付けられました。

の証明は【後編】にて扱います。

$gcd(b^2+3a^2,b)=3$のとき

$gcd(b^2+3a^2,b)=3$のとき，$b$が奇数であることから，②よりある自然数$c$，$d$が存在して$$b=3c^2,b^2+3a^2=4d^2,x=3cd$$
と表せます（$b/3$が平方数となることについては$gcd(b^2+3a^2,b)=1$のときと同様の議論をすればよいです）。$gcd(b^2+3a^2,b)=1$のときと同様にして，$$x^2=9c^2{d}^2=9c^2(z^4-3c^2{z}^2+3c^4)$$と$x$について$2$通りの表示が得られます。従って$z,c,d$の間には
$$z^4-3c^2{z}^2+3c^4=d^2$$
なる関係があります。これも⭐の形をしているので，補題 1 から$$\begin{array}{rl}& z^2=c^2=d\\ \therefore & (x,y,z)=(3c^3,-2c^2,c)\end{array}$$
ですので，正整数ではありません。

以上より，$y$と$z$の偶奇が異なるときは①式は正整数解を持たないことが分かりました。

$y$と$z$が共に奇数のとき

$y$と$z$が共に奇数のとき，ある整数$a,b$を用いて$z^2+y=2a$，$z^2-y=2b$と表せます。このとき
$$z^2=a+b,y=a-b\cdots \cdots \text{⑥}$$
と表せるので，$a$と$b$は偶奇が異なり，特に互いに素となることが分かります。

$$\begin{array}{rl}& x^2+(a-b{)}^3=(a+b{)}^3\\ \therefore & x^2=2b(b^2+3a^2)\cdots \cdots \text{⑦}\end{array}$$
を得ます。$2b$と$b^2+3a^2$の最大公約数を考えると，$a$と$b$が互いに素，$b^2+3a^2$は奇数であるため，その可能性は$1$か$3$しかなりえません。それぞれの場合を見ていきましょう。

$gcd(b^2+3a^2,2b)=1$のとき

$gcd(b^2+3a^2,2b)=1$のとき，⑦より$x^2$は偶数ですので，ある自然数$m$を用いて$x=2m$と表すことが出来ます。また$b^2+3a^2$は奇数だから，ある自然数$c$，$d$が存在して，
$$b=2c^2,b^2+3d^2=d^2,x=2m=2cd$$
と表せます。これと①より，$x^2$は2通りの表示ができて，
$$x^2=4c^2{d}^2$$
と，
$$\begin{array}{rl}{x}^2=z^6-y^3& =z^6-(z^2-2b{)}^3\\ & =z^6-(z^2-4c^2{)}^3\\ & =4c^2(3z^4-3(2c{)}^2{z}^2+(2c{)}^4)\end{array}$$
です。これら$2$式を比較することで，
$$3z^4-3(2c{)}^2{z}^2+(2c{)}^4=d^2$$
とまとめることが出来ました。これも⭐の形をしているので，補題 1 を適用することが出来ます。つまり$$\begin{array}{rl}& z^2=(2c{)}^2=d\\ \therefore & (x,y,z)=(8c^3,0,2c)\end{array}$$
が従いますので，自然数解とはなりません。（そもそも$z$を奇数としたことに矛盾していますね。）

$gcd(b^2+3a^2,2b)=3$のとき

$gcd(b^2+3a^2,2b)=3$のときも同様に考えます。⑦より，これまでと同様に，ある自然数$c,d$が存在して，
$$2b=3(2c{)}^2,b^2+3a^2=3d^2,x=6cd$$
と表せます。やはり$x^2$を$2$通りで表すことによって，
$$\begin{array}{rl}& 36c^2{d}^2=36c^2(z^4-12c^2{z}^2+48c^4)\\ \therefore & 3(2c{)}^4{z}^4-3(2c{)}^2+z^2=d^2\end{array}$$
となり，これも⭐の形をしていますので，補題 1 を適用して，$$\begin{array}{rl}& (2c{)}^2=z^2=d\\ \therefore & (x,y,z)=(8c^3,0,2c)\end{array}$$
よってこれも自然数解とはなりません。

以上ですべての場合を考えましたので，①を満たす自然数解は存在しないことが示されました。

ここまでのまとめ

【前編】では，$x^2+y^2=z^6$を満たす自然数解について，補題 1 が成り立つならば存在しない！ということを証明しました。

証明の中身を見れば分かりますが，副産物として以下も従います。

特に$(3k^3{)}^2+(-2k^2{)}^3=k^6$については，かなり非自明な雰囲気を感じますね。

【後編】では補題 1 を証明します。

ここまで見ていただきありがとうございます！