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積分解説3 ∫[0,π/2](sinxcostanx)/((1+cos^2x)e^sinx)dx

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この記事では, 以下の積分の証明を書きたいと思います. すごく綺麗にまとまっていて, 自分でも感動してしまいました🥺

0π2sinxcostanx(1+cos2x)esinxdx=π4e22

inspired by triaさん の昔のツイート, です.

(証明)

0cosxx2+y2dx=π2yey(y>0)
を利用します. これは, こちらの記事 と同様にして導くことができます.

まず, 上の式において yy2y2+1 と置き換えて, 両辺の分母にy2+1を掛けることによって,

0cosxx2y2+x2+y2dx=π2yy2+1exp(y2y2+1)
を得ます.

これの両辺に y2cosyy2+2 を掛けて, y:0 と積分します. すると左辺は,

00cosxcosyx2y2+x2+y2y2y2+2dxdy=1200cosxcosyx2y2+x2+y2(x2x2+2+y2y2+2)dxdy=1200cosxcosyx2y2+x2+y22(x2y2+x2+y2)(x2+2)(y2+2)dxdy=00cosxcosy(x2+2)(y2+2)dxdy=(0cosxx2+2dx)2=π28e22
と計算できます. ただし1行目から2行目の変形で, x,yを入れ替えても積分値が変わらないことを利用しました.

以上より, 右辺の積分が計算できて,

0y2cosyy2+21yy2+1exp(y2y2+1)dy=π4e22
となり, ここでy=tanxなる置換をすれば,

0π2sinxcostanx(1+cos2x)esinxdx=π4e22
を得ます.

読んで下さった方, ありがとうございました.

投稿日:202121
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投稿者

東大数理M1

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