積分解説3 ∫[0,π/2](sinxcostanx)/((1+cos^2x)e^sinx)dx
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この記事では, 以下の積分の証明を書きたいと思います. すごく綺麗にまとまっていて, 自分でも感動してしまいました🥺
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inspired by triaさん の昔のツイート, です.
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(証明)
$$ \int_0^\infty\frac{\cos x}{x^2+y^2}\,dx=\frac{π}{2ye^{y}}\space(y>0)$$
を利用します. これは,
こちらの記事
と同様にして導くことができます.
まず, 上の式において $\ds y\mapsto\sqrt{\frac{y^2}{y^2+1}}$ と置き換えて, 両辺の分母に$y^2+1$を掛けることによって,
$$ \int_0^\infty\frac{\cos x}{x^2y^2+x^2+y^2}\,dx=\frac{π}{2y\sqrt{y^2+1}}\exp\left(-\sqrt{\frac{y^2}{y^2+1}}\,\right)$$
を得ます.
これの両辺に $\ds\frac{y^2\cos y}{y^2+2}$ を掛けて, $y:0\to\infty$ と積分します. すると左辺は,
$$\beq
&&\int_0^\infty\int_0^\infty\frac{\cos x\cos y}{x^2y^2+x^2+y^2}\cdot\frac{y^2}{y^2+2}\,dxdy\\[5pt]
&=&\frac12\int_0^\infty\int_0^\infty\frac{\cos x\cos y}{x^2y^2+x^2+y^2}\left(\frac{x^2}{x^2+2}+\frac{y^2}{y^2+2}\right)\,dxdy\\[5pt]
&=&\frac12\int_0^\infty\int_0^\infty\frac{\cos x\cos y}{x^2y^2+x^2+y^2}\cdot\frac{2(x^2y^2+x^2+y^2)}{(x^2+2)(y^2+2)}\,dxdy\\[5pt]
&=&\int_0^\infty\int_0^\infty\frac{\cos x\cos y}{(x^2+2)(y^2+2)}\,dxdy\\[5pt]
&=&\left(\int_0^\infty\frac{\cos x}{x^2+2}\,dx\right)^2\\[5pt]
&=&\frac{\pi^2}{8\,e^{2\sqrt{2}}}
\eeq$$
と計算できます. ただし1行目から2行目の変形で, $x,y$を入れ替えても積分値が変わらないことを利用しました.
以上より, 右辺の積分が計算できて,
$$\int_0^\infty\frac{y^2\cos y}{y^2+2}\cdot\frac{1}{y\sqrt{y^2+1}}\exp\left(-\sqrt{\frac{y^2}{y^2+1}}\,\right)\,dy=\frac{\pi}{4\,e^{2\sqrt{2}}}$$
となり, ここで$y=\tan x$なる置換をすれば,
$$\int_0^{\frac\pi2}\frac{\sin x\cos\tan x}{(1+\cos^2x)e^{\sin x}}\,dx=\frac{\pi}{4\,e^{2\sqrt2}}$$
を得ます.
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読んで下さった方, ありがとうございました.
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