積分解説3 ∫[0,π/2](sinxcostanx)/((1+cos^2x)e^sinx)dx

この記事では, 以下の積分の証明を書きたいと思います. すごく綺麗にまとまっていて, 自分でも感動してしまいました🥺
$$

inspired by triaさん の昔のツイート, です.

(証明)

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos x}{x^2+y^2}dx=\frac{\pi }{2y{e}^y}(y>0)$$
を利用します. これは, こちらの記事 と同様にして導くことができます.

まず, 上の式において ${\displaystyle y\mapsto \sqrt{\frac{y^2}{y^2+1}}}$ と置き換えて, 両辺の分母に$y^2+1$を掛けることによって,

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos x}{x^2{y}^2+x^2+y^2}dx=\frac{\pi }{2y\sqrt{y^2+1}}\exp (-\sqrt{\frac{y^2}{y^2+1}})$$
を得ます.

これの両辺に ${\displaystyle \frac{y^2\cos y}{y^2+2}}$ を掛けて, $y:0\to \mathrm{\infty }$ と積分します. すると左辺は,

$$\begin{array}{rcl}& & {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos x\cos y}{x^2{y}^2+x^2+y^2}\cdot \frac{y^2}{y^2+2}dxdy\\ & =& \frac{1}{2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos x\cos y}{x^2{y}^2+x^2+y^2}(\frac{x^2}{x^2+2}+\frac{y^2}{y^2+2})dxdy\\ & =& \frac{1}{2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos x\cos y}{x^2{y}^2+x^2+y^2}\cdot \frac{2(x^2{y}^2+x^2+y^2)}{(x^2+2)(y^2+2)}dxdy\\ & =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos x\cos y}{(x^2+2)(y^2+2)}dxdy\\ & =& {\left({\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos x}{x^2+2}dx\right)}^2\\ & =& \frac{{\pi }^2}{8e^{2\sqrt{2}}}\end{array}$$
と計算できます. ただし1行目から2行目の変形で, $x,y$を入れ替えても積分値が変わらないことを利用しました.

以上より, 右辺の積分が計算できて,

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{y^2\cos y}{y^2+2}\cdot \frac{1}{y\sqrt{y^2+1}}\exp (-\sqrt{\frac{y^2}{y^2+1}})dy=\frac{\pi }{4e^{2\sqrt{2}}}$$
となり, ここで$y=\tan x$なる置換をすれば,

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x\cos \tan x}{(1+{\cos }^{2}x)e^{\sin x}}dx=\frac{\pi }{4e^{2\sqrt{2}}}$$
を得ます.
$$

読んで下さった方, ありがとうございました.