noyarulerさんの予想の証明

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noyarulerさんの記事
https://mathlog.info/articles/1692
を読み、少し考えてみたところ予想1,2の証明ができたので書き記しておきます．

問題設定

noyarulerさんの予想を代数学の言葉で書き直すと以下のようになります．

3以上の整数 $N$ を固定し、 $n \geq 0$ に対してAbel群の準同型 $φ_{n} : (Z / N Z)^{N} \to (Z / N Z)^{N}$ を
$φ_{n} ((\begin{matrix} a_{0} \\ ⋮ \\ a_{n} \\ ⋮ \\ a_{N - 1} \end{matrix})) = (\begin{matrix} a_{0} \\ ⋮ \\ a_{n - 1} + a_{n + 1} \\ ⋮ \\ a_{N - 1} \end{matrix})$
で定める（ただし添字はmod $N$ で考える）．またAbel群の準同型 $ψ : (Z / N Z)^{N} \to (Z / N Z)^{N}$ を
$ψ ((\begin{matrix} a_{0} \\ ⋮ \\ a_{N - 1} \end{matrix})) = (\begin{matrix} a_{N - 1} \\ a_{0} \\ ⋮ \\ a_{N - 2} \end{matrix})$
で定める． $v_{n} \in (Z / N Z)^{N}$ を漸化式
$v_{0} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ ⋮ \\ N - 1 \end{matrix}), v_{n} = φ_{n} (v_{n - 1})$
で定め、
$T (N) = min {n \in Z_{> 0} ∣ \exists k, ψ^{k} v_{n} = v_{0}} \in Z_{> 0} \cup {\infty}, S (N) = min {n \in Z_{> 0} ∣ v_{n} = v_{0}} \in Z_{> 0} \cup {\infty}$
とおく．このとき、
(予想1) $T (N)$ , $S (N)$ は常に有限である．
(予想2) $p$ を $3$ 以上の素数とすると $S (p) / T (p) = p$ である．
(予想3) $S (N) / T (N)$ は $N$ の素因数の最大公約数に一致する．

この記事では予想1,2を証明します．

問題の言い換え

Abel群の準同型 $φ : (Z / N Z)^{N} \to (Z / N Z)^{N}$ を次のように定めます：
$φ ((\begin{matrix} a_{0} \\ ⋮ \\ a_{N - 1} \end{matrix})) = (\begin{matrix} a_{0} + a_{2} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{N - 1} \\ a_{0} \end{matrix}) .$
すると $v_{n} = ψ^{n} (φ^{n} (v_{0}))$ と表せます．ここで $v_{0}$ が $(Z / N Z)^{N}$ の部分加群
$V = {(\begin{matrix} a_{0} \\ ⋮ \\ a_{N - 1} \end{matrix}) \in (Z / N Z)^{N} ∣ a_{0} = a_{1} + a_{N - 1}}$
に含まれることに着目します． $φ$ は $V$ を保つので $φ^{n} (v_{0})$ は $V$ に属します．したがって $\exists k, ψ^{k} v_{n} = v_{0}$ は $φ^{n} (v_{0}) = v_{0}$ と同値です． $v_{n} = v_{0}$ が成り立つのはそれに加えて $ψ^{n} (v_{0}) = v_{0}$ のとき、すなわち $N ∣ n$ のときです．よって以下が得られます．

$T (N) = min {n \in Z_{> 0} ∣ φ^{n} (v_{0}) = v_{0}} \in Z_{> 0} \cup {\infty}$ である．また $T (N)$ が有限ならば $S (N) = LCM (T (N), N)$ である．

予想1,2の証明

$(Z / N Z)^{N}$ の標準基底を $e_{0}, \dots, e_{N - 1}$ とすると、 $V$ の基底として $(e_{0} + e_{N - 1}), (e_{0} + e_{1}), e_{2}, \dots, e_{N - 2}$ が取れます．この基底で $φ |_{V}$ を行列表示すると
$φ |_{V} = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ ⋱ \\ 1 \\ 1 \end{matrix})$
となり、特に $φ |_{V}$ が可逆であることが分かります．よって $φ |_{V}$ の $GL (V)$ における位数を $n$ とすれば $φ^{n} (v_{0}) = v_{0}$ となるので、予想1が正しいことが分かります．

次に予想2を示しましょう． $p$ を $3$ 以上の素数とし、 $N = p$ とします．上の行列表示から $φ |_{V}$ の固有多項式は $X^{p - 1} - X^{p - 2} - 1$ と分かります．この多項式は $F_{p}$ に根を持ちませんが、 $(X^{p - 1} - X^{p - 2} - 1)^{'} = X^{p - 3} (- X + 2) \in F_{p} [X]$ は全ての根を $F_{p}$ に持ちます．よって $φ |_{V}$ の固有多項式は ${\overset{―}{F}}_{p}$ において重根を持たず、したがって $φ |_{V}$ は ${\overset{―}{F}}_{p}$ 上対角化可能となります． ${\overset{―}{F}}_{p}^{\times}$ の任意の元の位数は $p$ と互いに素なので $φ |_{V}$ の位数も $p$ と互いに素であり、また $T (p)$ は $φ |_{V}$ の位数を割り切るので $T (p)$ も $p$ と互いに素です．したがって補題1より $S (p) = T (p) p$ となり、予想2が示されました．

投稿日：2021年2月3日

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