微分するとx軸方向に平行移動する実関数(f'(x)=f(x-t))を考えたら、想像以上にいっぱいあった件

598

$t$ を実数とする。
$f^{'} (x) = f (x - t)$ を満たす関数 $f : R \to R$ にはどんなものがあるだろうか？

いろいろと考えたのですが、自分には一般解を求めることができませんでした。
以前に投稿した $f^{'} (x) = f (- x)$ の問題と同様、WolframAlphaが解いてくれない系の問題ですし、どうしようもない感が半端ないです・・・

わかる範囲( $f (x)$ が解析的と仮定する)で書いています。

$f (x) = e^{s x}$ の形の解を見つける

$t = 0$ のときは $f^{'} (x) = f (x)$ なので、
$f (x) = C e^{x} (C : 任意定数)$ であることは簡単にわかります。

$t \neq 0$ の場合を考えます。
例えば $f (x) = e^{2 x}$ とすると $f^{'} (x) = 2 e^{2 x}$ ですが、
変形すると $2 e^{2 x} = e^{2 x + \log (2)} = e^{2 (x + \frac{\log (2)}{2})}$ なので、
$f^{'} (x) = f (x + \frac{\log (2)}{2})$ を満たします。
$t \neq 0$ のときでも指数関数の形が解になりそうです。

$f (x) = e^{s x} (s > 0)$ とすると、
$f^{'} (x) = s e^{s x} = e^{s x + \log (s)} = e^{s (x + \frac{\log (s)}{s})} = f (x + \frac{\log (s)}{s})$ なので、
$t = - \frac{\log (s)}{s}$ となる $s$ を求めればいいことが分かります。

ただ、この $s$ は初等関数で求めることができなくて、「乗積対数関数」とか「ランベルトの $W$ 関数」などと呼ばれる関数 $W (x)$ を使って表します。
$W (x)$ は、 $y = x e^{x}$ の逆関数です。
$t = - \frac{\log (s)}{s}$ を変形すると $s e^{s t} = 1$ となりますが、
両辺に $t$ を掛けて $s t e^{s t} = t$ として、両辺に $W$ 関数をとると、
$s t = W (t)$ 、すなわち $s = \frac{W (t)}{t}$ であることがわかります。

したがって、 $e^{\frac{W (t)}{t} x}$ は $f^{'} (x) = f (x - t)$ を満たします。
さらに、実数倍した $C e^{\frac{W (t)}{t} x} (C : 任意定数)$ もまた $f^{'} (x) = f (x - t)$ になります。

ただし、 $W$ 関数には気を付けないといけないことがあります。
$W (x)$ は実数の値域で $2$ 種類あるのです。

$W (x)$ は「 $1$ つ」じゃない

$W (x)$ は、 $y = x e^{x}$ の逆関数として導入しましたが、関数の逆関数が存在するためには、その関数が定義域から値域まで、1対1の対応をしていなければなりません。 $y = x e^{x}$ はグラフを描けばわかりますが、1対1の対応をしていません。

$y = x e^{x}$ の増減表
$\begin{array}{ccccc} x & - \infty & \dots & - 1 & \dots \\ y^{'} & (0) & - & 0 & + \\ y & (0) & ↘ & - \frac{1}{e} & ↗ \end{array}$

$f (x) = x e^{x}$ と $W$ 関数のグラフ

xe^xとW関数

$y = x e^{x}$ の定義域を適切に制限すれば逆関数を定義できるのですが、制限の仕方によって逆関数が変わります。
$y = x e^{x} (x ≧ - 1)$ の逆関数を $W_{0} (x)$ 、 $y = x e^{x} (x ≦ - 1)$ の逆関数を $W_{- 1} (x)$ と書くことにします。

$W_{0} (x)$ は定義域 $x ≧ - \frac{1}{e}$ 、値域は $W_{0} (x) ≧ - 1$ 、単調増加で原点を通る曲線です。
$W_{- 1} (x)$ は定義域 $- \frac{1}{e} ≦ x < 0$ 、値域は $W_{- 1} (x) ≦ - 1$ 、 $x = 0$ を漸近線とする単調減少の曲線です。
$- \frac{1}{e} < x < 0$ の部分だけ $W (x)$ が $2$ 種類あるんですね。

$f^{'} (x) = f (x - t)$ の問題に話を戻します。
$t > 0$ のとき、 $C e^{\frac{W_{0} (t)}{t} x} (C : 任意定数)$ が解になります。
$- \frac{1}{e} ≦ t < 0$ のときは、 $e^{\frac{W_{0} (t)}{t} x}$ も $e^{\frac{W_{- 1} (t)}{t} x}$ も解となります。
この微分方程式の問題でも「重ね合わせの原理」は明らかに成り立ち、 $C_{0} e^{\frac{W_{0} (t)}{t} x} + C_{- 1} e^{\frac{W_{- 1} (t)}{t} x} (C_{0}, C_{- 1} : 任意定数)$ はすべて解です。
(なお、 $t = - \frac{1}{e}$ のとき、 $W_{0} (- \frac{1}{e})$ も $W_{- 1} (- \frac{1}{e})$ も同じ $- 1$ になります。)
$t < - \frac{1}{e}$ のときは、 $x e^{x} = t$ を満たす実数 $x$ が存在しないので、解はなさそうに思えます。

$f^{'} (x) = f (x + \frac{1}{3})$ を満たす関数の例 $f (x) = 2 e^{- 3 W_{0} (- \frac{1}{3}) x} - \frac{1}{2} e^{- 3 W_{- 1} (- \frac{1}{3}) x}$
青線 $f (x + \frac{1}{3})$ と赤線 $f^{'} (x)$ が重なっている

f'(x)=f(x+1/3)

というわけで、 $f^{'} (x) = f (x - t)$ を満たす実関数は以下のようになりそうです。
$f (x) = {\begin{cases} C e^{\frac{W_{0} (t)}{t} x} & (t > 0) (C : 任意定数) \\ C e^{x} & (t = 0) (C : 任意定数) \\ C_{0} e^{\frac{W_{0} (t)}{t} x} + C_{- 1} e^{\frac{W_{- 1} (t)}{t} x} & (- \frac{1}{e} ≦ t < 0) (C_{0}, C_{- 1} : 任意定数) \\ 存在しない & (t < - \frac{1}{e}) \end{cases}$
$1$ 階の微分方程式なのに、任意定数が2種類出てくるとは・・・個人的にビックリです。
なお、 $t \to 0$ とすると、 $\frac{W_{0} (t)}{t} \to 1$ となるので、 $t = 0$ のときの一般解 $f (x) = C e^{x}$ と一致します。

・・・しかし、実はこれは正しくないんです。
例えば $f (x) = \cos (x)$ とすると、
$f^{'} (x) = - \sin (x) = \cos (x + \frac{π}{2}) = f (x + \frac{π}{2})$ なので、
$t = - \frac{π}{2}$ の場合に該当します。
しかし、この場合は上記の場合分けでは「存在しない」となっています。
まだ見つかっていない解があるようです。
原因は $W (x)$ の"イタズラ"です。

複素関数 $W (z)$ を調べる

$W (x)$ は値域が実数の範囲では $2$ 種類ありますが、複素数の範囲では無限種類あります。
つまり、複素数 $z$ に対し、 $w e^{w} = z$ を満たす複素数 $w$ は無限にあるのです。これらを $W_{n} (z) (n \in Z)$ と書くことにします(ただし、例外として $z = 0$ のときは $w = W_{0} (0) = 0$ しかありません)。
(厳密には、 $W_{0} (z)$ から、複素関数の解析接続を使って $w = W_{n} (z) (n \in Z)$ を定義するのですが、基本的には虚部の小さいほうから「 $\dots, W_{- 2} (z), W_{- 1} (z), W_{0} (z), W_{1} (z), W_{2} (z), \dots$ 」となっていると思って差し支えはないようです。)

$W_{n} (t)$ を実数の範囲だけで考えていたとき、 $t \neq 0$ に対して、 $f^{'} (x) = f (x - t)$ の解には
$e^{\frac{W_{n} (t)}{t} x}$ の定数倍と和で組み合わせたものがありました。( $C_{0} e^{\frac{W_{0} (t)}{t} x} + C_{- 1} e^{\frac{W_{- 1} (t)}{t} x}$ のことです。)
これは、 $t$ が複素数、 $n$ が $0, - 1$ 以外でも同じです。

任意の整数 $n$ に対して、
$W_{n} ((a + i b) e^{a + i b}) = a + i b$ となる複素数 $a + i b (a, b \in R)$ があります。
そこで、 $t = (a + i b) e^{a + i b}$ とすると、
$e^{\frac{W_{n} (t)}{t} x} = e^{\frac{a + i b}{(a + i b) e^{a + i b}} x} = e^{e^{- a - i b} x}$ となります。

$W_{n} (z e^{z}) = z$ となる $n$ が何かを複素平面にプロットしたものがこちら(英語版Wikipedia "Lambert W function")

ただ、ここで求めたいのは「実数」 $t$ に対する $f^{'} (x) = f (x - t)$ の解なので、
$t = (a + i b) e^{a + i b}$ が実数であってほしいわけです。
$b = 0$ なら、上記の実数の範囲だけの話なので、 $b \neq 0$ であるとします。

$(a + i b) e^{a + i b}$ を実部と虚部に分けると、
$\begin{array}{rcl} (a + i b) e^{a + i b} \\ = & (a + i b) e^{a} (\cos (b) + i \sin (b)) \\ = & e^{a} (a \cos (b) - b \sin (b)) + i e^{a} (b \cos (b) + a \sin (b)) \end{array}$

なので、 $(a + i b) e^{a + i b}$ が実数になるには、 $e^{a} (b \cos (b) + a \sin (b)) = 0$ でなければなりません。
よって、 $a = - b \cot (b)$ です。
このとき、 $t = e^{- b \cot (b)} (- b \cot (b) \cos (b) - b \sin (b)) = - b e^{- b \cot (b)} cosec (b)$ です。

$y = - x \cot (x)$ のグラフ
$a = - b \cot (b)$ のとき、 $(a + i b) e^{a + i b}$ が実数になる

-xcot(x)

$y = - x e^{- x \cot (x)} cosec (x)$ のグラフ
$0$ でない実数 $t$ に対し、 $t = - b e^{- b \cot (b)} cosec (b)$ となる $b$ が無限個存在する

-xe^(-xcot(x))cosec(x)

また、 $e^{\frac{W_{n} (t)}{t} x}$ も実部と虚部に分解すると、
$\begin{array}{rcl} e^{\frac{W_{n} (t)}{t} x} & = & e^{e^{- a - i b} x} \\ = & e^{e^{b \cot (b) - i b} x} \\ = & e^{e^{b \cot (b)} (\cos (b) - i \sin (b)) x} \\ = & e^{e^{b \cot (b)} \cos (b) x} \cos (e^{b \cot (b)} \sin (b) x) - i e^{e^{b \cot (b)} \cos (b) x} \sin (e^{b \cot (b)} \sin (b) x) \end{array}$

従って、実数 $b$ に対して、 $f^{'} (x) = f (x - t)$ つまり $f^{'} (x) = f (x + b e^{- b \cot (b)} cosec (b))$ の解には、
$e^{e^{b \cot (b)} \cos (b) x} \cos (e^{b \cot (b)} \sin (b) x) - i e^{e^{b \cot (b)} \cos (b) x} \sin (e^{b \cot (b)} \sin (b) x)$ (の定数倍)があることがわかりました。

しかし、欲しい解は「実関数」です。
$i e^{e^{b \cot (b)} \cos (b) x} \sin (e^{b \cot (b)} \sin (b) x)$ が邪魔になっています。
この邪魔な虚部をなくしましょう。

方法としては、 $2$ つの解の和がまた解になることを使って、虚部を相殺することです。
複素数 $a - i b (a, b \in R)$ に対して、
$W_{m} ((a - i b) e^{a - i b}) = a - i b$ となる $m$ があります。

そこで、今度は $t = (a - i b) e^{a - i b}$ とすると、
$e^{\frac{W_{m} (t)}{t} x} = e^{\frac{a - i b}{(a - i b) e^{a - i b}} x} = e^{e^{- a + i b} x}$ となります。
同様に $t$ が実数であってほしいのですが、実部と虚部に分解すると、
$(a - i b) e^{a - i b} = e^{a} (a \cos (b) - b \sin (b)) - i e^{a} (b \cos (b) + a \sin (b))$ であり、
$(a + i b) e^{a + i b}$ のときと虚部の符号が違うだけなので、 $a = - b \cot (b)$ が $t$ が実数になる条件です。
さらに実部が同じなので、 $a = - b \cot (b)$ ならば $t = (a + i b) e^{a + i b} = (a - i b) e^{a - i b} = - b e^{- b \cot (b)} cosec (b) \in R$ になります。
つまり、実数 $t \neq 0$ に対し、 $W_{n} (t) = a + i b, W_{m} (t) = a - i b$ ですね。

$e^{\frac{W_{m} (t)}{t} x}$ も実部と虚部に分解すると、
$\begin{array}{rcl} e^{\frac{W_{m} (t)}{t} x} & = & e^{e^{- a + i b} x} \\ = & e^{e^{b \cot (b) + i b} x} \\ = & e^{e^{b \cot (b)} (\cos (b) + i \sin (b)) x} \\ = & e^{e^{b \cot (b)} \cos (b) x} \cos (e^{b \cot (b)} \sin (b) x) + i e^{e^{b \cot (b)} \cos (b) x} \sin (e^{b \cot (b)} \sin (b) x) \end{array}$
これも $e^{\frac{W_{n} (t)}{t} x}$ と虚部の符号が違うだけです。

よって、 $e^{\frac{W_{n} (t)}{t} x}$ と $e^{\frac{W_{m} (t)}{t} x}$ を足し算すると、
$e^{\frac{W_{n} (t)}{t} x} + e^{\frac{W_{m} (t)}{t} x} = 2 e^{e^{b \cot (b)} \cos (b) x} \cos (e^{b \cot (b)} \sin (b) x)$
となって、実関数になります。

したがって、実数 $t \neq 0$ が与えられたとき、
$t = - b e^{- b \cot (b)} cosec (b)$ となる実数 $b$ に対し、
$f (x) = e^{\frac{W_{n} (t)}{t} x} + e^{\frac{W_{m} (t)}{t} x} = 2 e^{e^{b \cot (b)} \cos (b) x} \cos (e^{b \cot (b)} \sin (b) x)$ とすると、これは
$f^{'} (x) = f (x - t)$ の実関数の解になることが分かりました。
( $n, m$ によって、 $b$ の値は変わり、 $2 e^{e^{b \cot (b)} \cos (b) x} \cos (e^{b \cot (b)} \sin (b) x))$ もさまざまな関数になります。)

実は、 $n$ と $m$ の関係は、 $t < 0$ のとき $m = - n - 1$ 、 $t > 0$ のとき $m = - n$ なんです。
$t < 0$ の場合は、
$f (x) = e^{\frac{W_{3} (t)}{t} x} + e^{\frac{W_{- 4} (t)}{t} x}$ や、
$f (x) = e^{\frac{W_{6} (t)}{t} x} + e^{\frac{W_{- 7} (t)}{t} x}$ などが解です。
$t > 0$ の場合は、
$f (x) = e^{\frac{W_{3} (t)}{t} x} + e^{\frac{W_{- 3} (t)}{t} x}$ や、
$f (x) = e^{\frac{W_{6} (t)}{t} x} + e^{\frac{W_{- 6} (t)}{t} x}$ などが解です。
$n$ はすべての整数をとれるので、無限にいろんな関数ができます。
そして、「重ね合わせの原理」から、これらをそれぞれ実数倍して足したものもすべて解になります。

$f (x) = e^{- \frac{W_{3} (- 5)}{5} x} + e^{- \frac{W_{- 4} (- 5)}{5} x}$ のグラフ

$f (x) = e^{\frac{W_{3} (5)}{5} x} + e^{\frac{W_{- 3} (5)}{5} x}$ のグラフ

具体例

したがって、新たにこれらの実関数の解が見つかりました。
$f (x) = {\begin{cases} \sum_{n = 0}^{\infty} C_{n} (e^{\frac{W_{n} (t)}{t} x} + e^{\frac{W_{- n} (t)}{t} x}) & (t > 0) (C_{n} : 任意定数) \\ \sum_{n = 0}^{\infty} C_{n} (e^{\frac{W_{n} (t)}{t} x} + e^{\frac{W_{- n - 1} (t)}{t} x}) & (t < 0) (C_{n} : 任意定数) \end{cases}$
(ただし、任意定数 $C_{n}$ は、この関数項級数の無限和が任意の実数 $x$ で収束して、項別微分可能になることを前提とする。)

例えば、実数の範囲だけではうまく説明できなかった $f (x) = \cos (x)$ の場合は、
$W_{0} (- \frac{π}{2}) = \frac{i π}{2}, W_{- 1} (- \frac{π}{2}) = - \frac{i π}{2}$ であることを使って、
$f (x) = \frac{1}{2} (e^{\frac{W_{0} (- π / 2)}{- π / 2} x} + e^{\frac{W_{- 1} (- π / 2)}{- π / 2} x})$ となり
$t = - \frac{π}{2}$ の場合になることが分かります。

今わかっている解をまとめると

実数 $t$ に対し、 $f^{'} (x) = f (x - t)$ を満たす実関数は、
$f (x) = e^{s x}$ の形に注目して $W (t)$ を値域が実数の関数として見たときに、以下の解が見つかりました。

$f (x) = {\begin{cases} C e^{\frac{W_{0} (t)}{t} x} & (t > 0) (C : 任意定数) \\ C e^{x} & (t = 0) (C : 任意定数) \\ C_{0} e^{\frac{W_{0} (t)}{t} x} + C_{- 1} e^{\frac{W_{- 1} (t)}{t} x} & (- \frac{1}{e} ≦ t < 0) (C_{0}, C_{- 1} : 任意定数) \\ 存在しない & (t < - \frac{1}{e}) \end{cases}$

そして、 $W (t)$ を値域が複素数の関数として見て、 $2$ つの複素関数の解の和で実関数になってくれるものを調べて、以下の解が見つかりました。

$f (x) = {\begin{cases} \sum_{n = 0}^{\infty} C_{n} (e^{\frac{W_{n} (t)}{t} x} + e^{\frac{W_{- n} (t)}{t} x}) & (t > 0) (C_{n} : 任意定数) \\ \sum_{n = 0}^{\infty} C_{n} (e^{\frac{W_{n} (t)}{t} x} + e^{\frac{W_{- n - 1} (t)}{t} x}) & (t < 0) (C_{n} : 任意定数) \end{cases}$

これらをきれいにまとめるとこのようになります。

実数 $t$ に対し、 $f^{'} (x) = f (x - t)$ を満たす実関数には、以下の関数がある。
$f (x) = {\begin{cases} \sum_{n = 0}^{\infty} C_{n} (e^{\frac{W_{n} (t)}{t} x} + e^{\frac{W_{- n} (t)}{t} x}) & (t > 0) (C_{n} : 任意定数) \\ C e^{x} & (t = 0) (C : 任意定数) \\ C e^{\frac{W_{0} (t)}{t} x} + \sum_{n = 0}^{\infty} C_{n} (e^{\frac{W_{n} (t)}{t} x} + e^{\frac{W_{- n - 1} (t)}{t} x}) & (- \frac{1}{e} < t < 0) (C, C_{n} : 任意定数) \\ \sum_{n = 0}^{\infty} C_{n} (e^{\frac{W_{n} (t)}{t} x} + e^{\frac{W_{- n - 1} (t)}{t} x}) & (t ≦ - \frac{1}{e}) (C_{n} : 任意定数) \end{cases}$
(ただし、任意定数 $C_{n}$ は、この関数項級数の無限和が任意の実数 $x$ で収束して、項別微分可能になることを前提とする。)
( $W_{n} (t)$ はランベルトのW関数の解析接続)

$1$ 階の微分方程式なのに、任意定数が無限個登場するとは個人的にビックリです。
これも $W (t)$ の多価性(しかも無限価)の影響で、さらに複素対数関数とは違い、定数の差だけではないからですね。
$f (0) = 1, f (1) = 0, f (5) = - 7, \dots$ のようにいくら初期値を設定しても、特殊解を一通りに定めることができない可能性が高いです。
想像以上に解がいっぱいあるってことですね・・・

もしかしたらまだあるかも・・・

かなりの実関数の解を見つけたつもりなんですが、もしかしたらまだあるかもしれないです。。。
もし $f (x)$ が実数全体で解析関数だったら、上記の解だけだと思うんです。
だけど、非解析的で無限回微分可能な解となると・・・他にないことを証明するのは自分の実力じゃ無理でしたので、わかる人は教えていただきたいです・・・

以上、読んでいただきありがとうございました。

(2021/02/07 追記)
J_Koizumiさんにより、実数全体で解析的でなくても、 $f^{'} (x) = f (x - t) (t \neq 0)$ を満たす実関数の存在が確認できました。
ありがとうございます！！！
詳しくはコメント欄をご覧ください。
やはり想像以上に解がいっぱいあるってことですね・・・