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円周率を手計算で近似する話

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はじめに

この記事では,僕流のπの近似の仕方について少しお話したいと思います. 現在,円周率の値はコンピュータの計算によって数十兆桁までわかっています.しかし,それ以前の時代では,偉大なる数学者たちが円周率の近似を手計算で求めていました.(その歴史については下のリンクから見れます.)手計算でやることの楽しさと難しさが伝わればいいなと思います.

円周率の歴史

近似の手順

ここから,僕がやっている近似の方法について話します.近似の手法は次の通りです.

区間axbにおいてほぼ0となる関数f(x)で,
abf(x)dx=Aπ+B
のかたちで表されるものを見つけてくる.このとき abf(x)dx0であることを利用して
πBA と近似できる.
  

これだけ見ても分かりずらいと思うので,簡単な例を見ていきましょう.

a=0b=π6f(x)=(1cosx)2とすると,
0π6(1cosx)2 dx=18(2π8+3)
(1cosx)2x=0の近くではほぼ0なので,
π8323.13397

こんな感じでπを近似することができます.さらに言えば,被積分関数は常に0より大きいので,π>3.13πを下から評価することもできます.

近似の精度を高めるために

積分区間を短くする

先程の例において,b=π12としてみましょう.

0π12(1cosx)2 dx=18(π+1+4246)
よってπ464213.14110

先程よりも良い近似ができました.この近似のやり方はabf(x) dx0とみなすことによって行っていたので,区間が大きくなればなるほど,誤差が大きくなってしまい,精度が悪くなってしまいます.

マクローリン展開を考える

冒頭の近似のやり方において,axbにおいてほぼ0となる関数f(x)を見つけてくるといいましたが,これについてもう少し詳しく話します.ここではa=0の場合に限った話とします.先ほども述べましたが,この近似のやり方は0bf(x) dx0とみなすことによって行っていました.ですので,精度を高めるためには,x=0付近においてf(x)ができるだけ0に近づける必要があります.したがって,f(x)をマクローリン展開したとき,最低次数が大きくなるようにすればよいです.
 極端な例を考えましょう.(WolframAlphaを使いました)

0π12sin50x dx=39200741448727239065600(28694856520796265800π253864564330649356346+945220620397951056253)
これよりπ3.141592653589793238462643383276999

小数第29位まで一致しました.なぜここまで精度が高いかといえば,sin50x=x50+O(x52)だからです.とはいえsin50xを手計算でやるのは不可能に近いです.手計算が可能かつマクローリン展開したときに最低次数が大きくなるf(x)をうまく見つけられるかがポイントになってきます.
 なお,先ほど登場した(1cosx)2(1cosx)2=14x4+O(x6)で,簡単な関数にしてはかなり良い関数になっています.
 ここで登場したランダウの記号(O(x))については,湧水さんの記事を参照してください.
  湧水さんの記事

僕が見つけた3.1415<π<3.1417の証明

最後に僕が今まで試行錯誤したなかで一番うまくいった例を示します.

π>3.1415の証明
0π12sin2xtan4x dx
=0π12(sin2x+tan4xtan2x)dx
=0π12{12(1cos2x)+(tanx)tan2x2tan2x}dx
=112[30x3sin2x+4tan3x24tanx]0π12
=112{30π12312+4(23)324(23)}
=5π+10972324
これが0より大きいことと3>1.73205より
π>7231095>721.732051095=3.14152>3.1415

π<3.1417の証明
0π12sin4xtan2x dx
=0π12(tan2xsin4xsin2x)dx
=0π12{tan2x18(cos4x4cos2x+3)12(1cos2x)}dx
=132[60x+32tanxsin4x+16sin2x]0π12
=132{60π12+32(23)32+1612}
=10π+14465364
これが0より大きいことと3>1.73205より
π<14465310<144651.7320510=3.141675<3.1417

ここで登場したsin2xtan4xsin4xtan2xをマクローリン展開すると
sin2xtan4x=x6+x8+O(x10)
sin4xtan2x=x6+215x10+O(x12)
になります.

さいごに

以上でこの記事は終わりです.みなさんもπを手計算で近似してみませんか?最後まで読んでいただきありがとうございます.

投稿日:202126
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とりゐ
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