オミクロン記号のお話

はじめに

この記事では, お受験のときの極限の問題で役に立つかもしれない, ランダウのオミクロン記号について説明しようと思います.

簡潔になるようにがんばりたいと思います.
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定義

オミクロン記号は, 次のように定義されます.

また, $x\to a$の場合も同様の式で定義されます.

これは感覚的には, $f(x)=o(g(x))$ は$f$は$g$よりもとても小さいこと, $f(x)=O(g(x))$ は$f$と$g$はだいたい同じくらいの大きさであること, を表しているような感じです.
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また最後に, これもよく使うことがあるので知っておくと良いです.

これは, $f(x)$と$g(x)$がほぼ同じ大きさであることを表していると思えば良いです.
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例

いくつか例を挙げます. 基本的に$g(x)$は$x^n$の形にすることが多いです.

$x\to \mathrm{\infty }$のとき,
$$\begin{array}{rcl}& & 2x^3+3x+\sin x=O(x^3)\\ & & \frac{1}{x}=o(1)\\ & & \log x=o(x^{ϵ})(ϵ>0)\\ & & x+\sqrt{x^2+1}\sim 2x\end{array}$$

$x\to 0$のときは, 次の式が重要です. $f(x)$は原点で連続微分可能として,

これはもう, 微分の定義のようなものですね.

あとは, $O(x)$は$O(x^2)$ですが$O(x^2)$は$O(x)$ではないことに注意してください.

応用例

$$$(1)$${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{n^2+n}-n)}$

${\displaystyle \sqrt{n^2+n}=n\sqrt{1+\frac{1}{n}}}$ と書きます. $n\to \mathrm{\infty }$で${\displaystyle \frac{1}{n}\to 0}$であることと, $x\to 0$で${\displaystyle \sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}+O(x^2)}$であることから, ${\displaystyle \sqrt{1+\frac{1}{n}}=1+\frac{1}{2n}+O(\frac{1}{n^2})}$です. 従って,
$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \sqrt{n^2+n}-n}& =& n(1+\frac{1}{2n}+O(\frac{1}{n^2}))-n\\ & =& \frac{1}{2}+O(\frac{1}{n})\\ & \to & \frac{1}{2}\end{array}$$
となります.
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$$$(2)$${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n((1+\frac{1}{n}{)}^n-e)}$

こちらの記事 を参照してください.

おわりに

読んで下さった方, ありがとうございました.
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