大数の問題をオーダーを使って解く

この記事では, いつの問題なのかわからないのですが, ネットで見かけた, 大学への数学で出されたらしい以下の極限の問題を, オミクロン記法を使ってすこし簡単に解こうと思います.

オミクロン記法については こちらの記事 を参照してください.

(証明)

まず, $f(x)$の$x\to \mathrm{\infty }$でのオーダーを考えてみます. $f(x)=e+o(1)$であることは確かですが, ここでは$x^{-1}$の項まで近似してみようと思います. (即ち, $f(x)$が$e$にどれくらいの速さで近づくのかを調べてみます.)

$x\to \mathrm{\infty }$のとき$x^{-1}\to 0$であることに注意して,

$$\begin{array}{rcl}\log f(x)& =& x\log (1+x^{-1})\\ & =& x(x^{-1}-\frac{1}{2}{x}^{-2}+O(x^{-3}))\\ & =& 1-\frac{1}{2}{x}^{-1}+O(x^{-2})\end{array}$$

これと$t\to 0$のとき$e^t=1+t+O(t^2)$であることから,

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& \exp (\log f(x))\\ & =& \exp (1-\frac{1}{2}{x}^{-1}+O(x^{-2}))\\ & =& e\cdot \exp (-\frac{1}{2}{x}^{-1}+O(x^{-2}))\\ & =& e(1-\frac{1}{2}{x}^{-1}+O(x^{-2}))\\ & =& e-\frac{e}{2}{x}^{-1}+O(x^{-2})\end{array}$$

とわかりました！

ここで, 一般に${\displaystyle x^{-n}-(x+1{)}^{-n}=\frac{n{x}^{n-1}}{x^n(x+1{)}^n}=O(x^{-(n+1)})}$ なので,

$$\begin{array}{rcl}f(x+1)-f(x)& =& -\frac{e}{2}(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x})+O(x^{-3})\\ & =& \frac{e}{2}\cdot \frac{1}{x(x+1)}+O(x^{-3})\\ & \sim & \frac{e}{2}{x}^{-2}+O(x^{-3})\end{array}$$

従って

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}^2(f(x+1)-f(x))=\frac{e}{2}$$

を得ます.
$$

ちなみに, 大学受験でこれは使えないことになっているので, 今回のようにオーダーを求めたあと, 適当な定数$c_1,c_2$により, 十分大きい$x$で
$$e-\frac{e}{2}{x}^{-1}+c_1{x}^{-2}\le f(x)\le e-\frac{e}{2}{x}^{-1}+c_2{x}^{-2}$$
みたいに評価できることを示してあげれば良いと思います.
$$

読んで下さった方, ありがとうございました.
$$

最後に演習問題をつけておきます.