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大数の問題をオーダーを使って解く

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$$\newcommand{a}[0]{\alpha} \newcommand{asn}[0]{\hspace{16pt}(\mathrm{as}\ n\to\infty)} \newcommand{b}[0]{\beta} \newcommand{beq}[0]{\begin{eqnarray*}} \newcommand{c}[2]{{}_{#1}\mathrm{C}_{#2}} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{cb}[0]{\binom{2n}{n}} \newcommand{ds}[0]{\displaystyle} \newcommand{eeq}[0]{\end{eqnarray*}} \newcommand{G}[1]{\Gamma({#1})} \newcommand{g}[0]{\gamma} \newcommand{hp}[0]{\frac{\pi}2} \newcommand{I}[0]{\mathrm{I}} \newcommand{l}[0]{\ell} \newcommand{limn}[0]{\lim_{n\to\infty}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{nck}[0]{\binom{n}{k}} \newcommand{p}[0]{\varphi} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{space}[0]{\hspace{12pt}} \newcommand{sumk}[1]{\sum_{k={#1}}^n} \newcommand{sumn}[1]{\sum_{n={#1}}^\infty} \newcommand{t}[0]{\theta} \newcommand{tc}[0]{\TextCenter} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

${}$

この記事では, いつの問題なのかわからないのですが, ネットで見かけた, 大学への数学で出されたらしい以下の極限の問題を, オミクロン記法を使ってすこし簡単に解こうと思います.

オミクロン記法については こちらの記事 を参照してください.

${}$


$\ds\space f(x)=\left(1+\frac1x\right)^x$ とするとき,
$$\lim_{x\to\infty}x^2\Big(f(x+1)-f(x)\Big)$$
を求めよ.

${}$

(証明)

まず, $f(x)$$x\to\infty$でのオーダーを考えてみます. $f(x)=e+o(1)$であることは確かですが, ここでは$x^{-1}$の項まで近似してみようと思います. (即ち, $f(x)$$e$にどれくらいの速さで近づくのかを調べてみます.)

$x\to\infty$のとき$x^{-1}\to0$であることに注意して,

$$\beq \log f(x)&=&x\log(1+x^{-1})\\[5pt] &=&x\Big(x^{-1}-\frac12x^{-2}+O(x^{-3})\Big)\\[5pt] &=&1-\frac12x^{-1}+O(x^{-2}) \eeq$$

これと$t\to0$のとき$e^t=1+t+O(t^2)$であることから,

$$\beq f(x)&=&\exp\big(\log f(x)\big)\\[5pt] &=&\exp\Big(1-\frac12x^{-1}+O(x^{-2})\Big)\\[5pt] &=&e\cdot\exp\Big(-\frac12x^{-1}+O(x^{-2})\Big)\\[5pt] &=&e\Big(1-\frac12x^{-1}+O(x^{-2})\Big)\\[5pt] &=&e-\frac{e}2x^{-1}+O(x^{-2}) \eeq$$

とわかりました!

ここで, 一般に$\ds x^{-n}-(x+1)^{-n}=\frac{nx^{n-1}}{x^n(x+1)^n}=O(x^{-(n+1)})$ なので,

$$\beq f(x+1)-f(x)&=&-\frac{e}{2}\Big(\frac{1}{x+1}-\frac1x\Big)+O(x^{-3})\\[5pt] &=&\frac{e}{2}\cdot\frac{1}{x(x+1)}+O(x^{-3})\\[5pt] &\sim&\frac{e}2x^{-2}+O(x^{-3}) \eeq$$

従って

$$\lim_{x\to\infty}x^2\Big(f(x+1)-f(x)\Big)=\frac{e}2$$

を得ます.
${}$

ちなみに, 大学受験でこれは使えないことになっているので, 今回のようにオーダーを求めたあと, 適当な定数$c_1,c_2$により, 十分大きい$x$
$$ e-\frac{e}2x^{-1}+c_1x^{-2}\leq f(x)\leq e-\frac{e}2x^{-1}+c_2x^{-2}$$
みたいに評価できることを示してあげれば良いと思います.
${}$

読んで下さった方, ありがとうございました.
${}$

${}$

最後に演習問題をつけておきます.

$$\limn \left\{\frac1e\left(1+\frac1n\right)^n\right\}^n$$

${}$

${}$

投稿日:2021211

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投稿者

東大理数B4です

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