大学数学基礎解説

アルキメデス的な順序環は可換であることについて

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順序環についてのちょっとした定理を証明します。

順序環は、アルキメデス的ならば可換である。

ここで順序環とは、次の条件をみたす体系をいいます。

環である（乗法単位元をもち、必ずしも可換ではない）
全順序集合である
演算と順序の間に次の関係がある
　　 $a \leq b \to a + c \leq b + c$
　　 $0 \leq a \land 0 \leq b \to 0 \leq a b$

また、順序環 $R$ がアルキメデス的であるとは、
$\forall a, b \in R (a > 0 \to \exists n \in N (n a > b))$
が成り立つことをいいます。

以下、 $R$ を順序環とします。 $R$ は乗法単位元を有するので、整数環 $Z$ を部分順序環として包含すると考えられます。このとき、次の事実は数学的帰納法などを用いて簡単に証明できます。

$\forall n \in Z \forall a \in R (n a = a n)$
これを念頭において定理を証明します。

$R$ が非可換と仮定し、ある $a, b \in R$ に対して $a b \neq b a$ とする。 $a, b$ はどちらも $0$ ではなく、また $a b \neq b a$ ならば $(- a) b \neq b (- a)$ かつ $a (- b) \neq (- b) a$ だから、 $a > 0$ かつ $b > 0$ としてよい。さらに $a b < b a$ として一般性を失わない。以下これらを仮定する。
　 $b a - a b > 0$ で、 $R$ はアルキメデス的だから、
$b < m (b a - a b)$
をみたす $m \in N$ が存在する。この $m$ に対して再び $R$ のアルキメデス性より、
$n b < m b a \leq (n + 1) b$
をみたす $n \in N$ が存在する。これらに対して、まず
$b n = n b < m b a = b (m a)$
かつ $b > 0$ より $n < m a$ が成り立つ。一方、
$m b a + m a b \leq (n + 1) b + m a b = n b + b + m a b < n b + m (b a - a b) + m a b = n b + m b a$
より
$(m a) b < n b$
であるから、 $b > 0$ より $m a < n$ が成り立つ。これは矛盾である。