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時々見かける極限の証明

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この記事では, 時々みかける以下の極限の証明をしようと思います.

limn( k=1nf(kn)n01f(x)dx)=f(1)f(0)2

これは, 以前 私の記事 でも証明を書いたのですが, 実は「オイラーの和公式」( Wikipediaの記事 参照) を背景にしているということに気づいたので, その考え方を用いて簡潔な証明を書こうと思います. (Wikiよりも具体的に, わかりやすく書こうと思います.)

式が横長になると思うので, スマートフォンでご覧の方は横向きにすることをお勧めします.

(証明)

部分積分により,

kk+1f(xn)dx=01f(k+xn)dx=[(x12)f(k+xn)]011n01(x12)f(k+xn)dx=12{f(kn)+f(k+1n)}1n01(x12)f(k+xn)dx

ここで,

01(x12)f(k+xn)dx=[12(x2x)f(k+xn)]0112n01(x2x)f(k+xn)dx=12n01(x2x)f(k+xn)dx

ですので,

kk+1f(xn)dx=12{f(kn)+f(k+1n)}+12n201(x2x)f(k+xn)dx

と書けます. (長くてすみません...)

これの両辺をk=0,1,,n1として足し合わせます.

まず左辺は区間が足し合わされて, 0nf(xn)dx 即ち n01f(x)dx となります.

右辺第1項は,

k=0n112{f(kn)+f(k+1n)}=12f(0)+f(1n)++f(n1n)+12f(1)=k=1nf(kn)f(1)f(0)2

と書けます.

最後に右辺第2項は, 積分の部分は有限なので(fの中身は0~1の間なので, 積分は有限の値となります), ある定数m,Mが存在して上下から押さえられます. 即ち

m2n<k=0n1(2)<M2n
とできるので, 和自体がn0に収束します.

以上より,

n01f(x)dx=k=1nf(kn)f(1)f(0)2+()n

即ち
limn( k=1nf(kn)n01f(x)dx)=f(1)f(0)2
が証明されました.

部分積分でx12を出して0,1を入れて同じになるようにしてからの, さらに部分積分でx2xとして0,1のどちらでも0になっているのが面白いと思いました. このへんはベルヌーイ多項式というものが絡んでいるらしいです.

投稿日:2021219
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投稿者

東大数理M1

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