この記事では, 時々みかける以下の極限の証明をしようと思います.
これは, 以前 私の記事 でも証明を書いたのですが, 実は「オイラーの和公式」( Wikipediaの記事 参照) を背景にしているということに気づいたので, その考え方を用いて簡潔な証明を書こうと思います. (Wikiよりも具体的に, わかりやすく書こうと思います.)
式が横長になると思うので, スマートフォンでご覧の方は横向きにすることをお勧めします.
(証明)
部分積分により,
ここで,
ですので,
と書けます. (長くてすみません...)
これの両辺を
まず左辺は区間が足し合わされて,
右辺第1項は,
と書けます.
最後に右辺第2項は, 積分の部分は有限なので(
とできるので, 和自体が
以上より,
即ち
が証明されました.
部分積分で