時々見かける極限の証明

この記事では, 時々みかける以下の極限の証明をしようと思います.

これは, 以前 私の記事 でも証明を書いたのですが, 実は「オイラーの和公式」( Wikipediaの記事 参照) を背景にしているということに気づいたので, その考え方を用いて簡潔な証明を書こうと思います. (Wikiよりも具体的に, わかりやすく書こうと思います.)

式が横長になると思うので, スマートフォンでご覧の方は横向きにすることをお勧めします.
$$

(証明)

部分積分により,

$$\begin{array}{rcl}& & {\int }_k^{k+1}f(\frac{x}{n})dx\\ & =& {\int }_0^{1}f(\frac{k+x}{n})dx\\ & =& [(x-\frac{1}{2})f(\frac{k+x}{n}){]}_0^1-\frac{1}{n}{\int }_0^1(x-\frac{1}{2})f^{\prime }(\frac{k+x}{n})dx\\ & =& \frac{1}{2}\{f(\frac{k}{n})+f(\frac{k+1}{n})\}-\frac{1}{n}{\int }_0^1(x-\frac{1}{2})f^{\prime }(\frac{k+x}{n})dx\end{array}$$

ここで,

$$\begin{array}{rcl}& & {\int }_0^1(x-\frac{1}{2})f^{\prime }(\frac{k+x}{n})dx\\ & =& [\frac{1}{2}(x^2-x)f^{\prime }(\frac{k+x}{n}){]}_0^1-\frac{1}{2n}{\int }_0^1(x^2-x)f^{″}(\frac{k+x}{n})dx\\ & =& -\frac{1}{2n}{\int }_0^1(x^2-x)f^{″}(\frac{k+x}{n})dx\end{array}$$

ですので,

$${\int }_k^{k+1}f(\frac{x}{n})dx=\frac{1}{2}\{f(\frac{k}{n})+f(\frac{k+1}{n})\}+\frac{1}{2n^2}{\int }_0^1(x^2-x)f^{″}(\frac{k+x}{n})dx$$

と書けます. (長くてすみません...)
$$

これの両辺を$k=0,1,\dots ,n-1$として足し合わせます.

まず左辺は区間が足し合わされて, ${\displaystyle {\int }_0^{n}f(\frac{x}{n})dx}$ 即ち ${\displaystyle n{\int }_0^{1}f(x)dx}$ となります.

右辺第1項は,

$$\begin{array}{rcl}& & \sum _{k=0}^{n-1}\frac{1}{2}\{f(\frac{k}{n})+f(\frac{k+1}{n})\}\\ & =& \frac{1}{2}f(0)+f(\frac{1}{n})+\cdots +f(\frac{n-1}{n})+\frac{1}{2}f(1)\\ & =& \sum _{k=1}^{n}f(\frac{k}{n})-\frac{f(1)-f(0)}{2}\end{array}$$

と書けます.

最後に右辺第2項は, 積分の部分は有限なので($f$の中身は0~1の間なので, 積分は有限の値となります), ある定数$m,M$が存在して上下から押さえられます. 即ち

$$\frac{m}{2n}<\sum _{k=0}^{n-1}(右辺第2項)<\frac{M}{2n}$$
とできるので, 和自体が$n\to \mathrm{\infty }$で$0$に収束します.

以上より,

$$n{\int }_0^{1}f(x)dx=\sum _{k=1}^{n}f(\frac{k}{n})-\frac{f(1)-f(0)}{2}+\frac{(有限値)}{n}$$

即ち
$${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sum _{k=1}^{n}f(\frac{k}{n})-n{\int }_0^{1}f(x)dx)=\frac{f(1)-f(0)}{2}}$$
が証明されました.
$$

部分積分で$x-\frac{1}{2}$を出して0,1を入れて同じになるようにしてからの, さらに部分積分で$x^2-x$として0,1のどちらでも0になっているのが面白いと思いました. このへんはベルヌーイ多項式というものが絡んでいるらしいです.