チェビシェフ多項式を使って円周を等分する方法

${\displaystyle {\begin{aligned} T_{0}(x)&=1\\ T_{1}(x)&=x\\ T_{2}(x)&=2x^{2}-1\\ T_{3}(x)&=4x^{3}-3x\\ T_{4}(x)&=8x^{4}-8x^{2}+1\\ \vdots &\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned} \cos(0t)&=1\\ \cos(1t)&=\cos(t)\\ \cos(2t)&=2(\cos(t))^{2}-1\\ \cos(3t)&=4(\cos(t))^{3}-3\cos(t)\\ \cos(4t)&=8(\cos(t))^{4}-8\left(\cos(t)\right)^{2}+1\\ \vdots &\end{aligned}}}$

$y=T_n(x)$ と円 $x^2+y^2=1$ の交点を求めてみましょう。

まず、$x^2+y^2=1$ 上の点を　$(\cos(\theta),\sin(\theta))$ と媒介変数表示します。$(0\le \theta <2\pi)$
これを $y=T_n(x)$ に代入します。

$\sin(\theta)=T_n\left(\cos(\theta)\right)=\cos(n\theta)$

$\therefore\sin(\theta)-\sin\left(\frac{\pi}{2}-n\theta\right)=0$

和積の公式で変形すれば

$2\cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{(n-1)\theta}{2}\right)\sin\left(-\frac{\pi}{4}+\frac{(n+1)\theta}{2}\right)=0$
$\Leftrightarrow \cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{(n-1)\theta}{2}\right)=0$ 又は $\sin\left(-\frac{\pi}{4}+\frac{(n+1)\theta}{2}\right)=0$
$\Leftrightarrow \theta=\frac{3\pi}{2(n-1)},\frac{7\pi}{2(n-1)},\frac{11\pi}{2(n-1)},\cdots,\frac{(4n-5)\pi}{2(n-1)}$ 又は $\theta=\frac{\pi}{2(n+1)},\frac{5\pi}{2(n+1)},\frac{9\pi}{2(n+1)},\frac{13\pi}{2(n+1)},\cdots,\frac{(4n+1)\pi}{2(n+1)}$

となり、円周の $(n-1)$ 等分点と $(n+1)$ 等分点が交点になっていることが確認できました。