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大学数学基礎解説
文献あり

メビウス変換の微分作用素表示

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{p}[0]{\partial} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

こんにちは(´∀`*)
毎度毎度誤植が多くてごめんなさい(^_^;

メビウス変換の微分作用素表示

$f$を無限回微分可能な関数、$\partial=\frac{d}{dx}、ad-bc=1、d\neq 0$とする。このとき \begin{align}e^{-cd^{-1}(x^2 \partial+λx)}d^{-2x\partial -λ}e^{bd^{-1} \partial}・f(x)=(cx+d)^{-λ} f\left(\dfrac{ax+b}{cx+d}\right)\end{align}

証明

並進変換

$e^{a \p}・f(x)=f(x+a)$

$$e^{a\p}\cdot f\left( x\right) =\sum _{n\geq 0}\sum _{m\geq 0}\dfrac {\left( a\partial \right) ^{n}}{n!}\cdot \dfrac {f^{\left( m\right) }\left( 0\right) }{m!}x^{m}\\ =\sum _{m\geq 0}\sum _{n\geq 0}\dfrac {f^{\left( m\right) }\left( 0\right) }{m!}\dfrac {a^{n}m!}{n!\left( m-n\right) !}x^{m-n}\\ =\sum _{m\geq 0}\dfrac {f^{\left( m\right) }\left( 0\right) }{m!}\left( x+a\right) ^{m}\\ =f(x+a) $$

オワリ

\begin{align}\exp (f'(x)+\partial) =\exp(f(x+1)-f(x))\exp \partial\end{align}

線形代数の固有値の話を思い出すと良いです。
任意の$k∈ℂ$について関数$\exp(kx-f(x))$上記の作用素の固有値$e^{k}$の固有関数であり、線形独立なので関数全体を張る基底となります。実際
\begin{align}(f'(x)+\partial)・exp(kx-f(x))\\ &=(f'(x)+(k-f'(x))\exp (kx-f(x))\\ &=k\exp (kx-f(x))\end{align}
であるので$f'(x)+\partial$は固有値kの関数なので(左辺)の固有値は$e^{k}$
一方[補題2]より
\begin{align}(右辺)・\exp (kx-f(x))\\ &=\exp (f(x+1)-f(x)) \exp(kx+k-f(x+1))\\ &=e^{k}\exp (kx-f(x))\end{align}
なので固有値は$e^{k}$です。
固有値と固有関数の一致が取れたので作用素は等しいです。 オワリ

補題2は割と有能ですが全く見かけないのなんででしょうね(BCH公式の系でもあります)
微分作用素は変数変換をすることができます:
$\dfrac{d}{dx^{-1}}=-x^{2}\dfrac{d}{dx}$
$\dfrac{d}{d\log x}=x\dfrac{d}{dx}$
です。 ここまで来ればスムーズに定理を証明できます。
$z=\dfrac{d}{cx}$として

\begin{align}&\exp -cd^{-1}(x^2 \partial+λx)\exp(-\log (d) (2x\partial +λ))\exp(bd^{-1} \partial)・f(x)\\ &=d^{-\lambda}\exp -cd^{-1}(x^2 \partial+λx)\exp(-2\log (d) \dfrac{\partial}{\partial \log x} )・f(\exp (\log x)+bd^{-1})(補 題2)\\ &=d^{-λ} \exp -cd^{-1}(x^2 \partial+λx)・f(\exp (\log x -2\log d)+bd^{-1})(補 題2)\\ &=d^{-λ}\exp \left(\dfrac{\partial}{\partial z}-λz^{-1}\right)・f(d^{-2}x+bd^{-1} )\\ &=d^{-λ}\exp (-λ\log (z+1)+λ\log z)\exp\left(cd^{-1}\frac{\partial}{\partial x^{-1}}\right) ・f\left(\dfrac{1}{d^2}\dfrac{1}{x^{-1}}+\frac{b}{d}\right)( 補 題3)\\ &=d^{-λ}\left(\dfrac{z+1}{z}\right)^{-λ}f\left(\dfrac{1}{d}\left(\dfrac{x(1+bc)+bd}{cx+d}\right) \right)\\ &=(cx+d)^{-λ} f\left(\dfrac{ax+b}{cx+d}\right)\end{align}
最後は$ad-bc=1$を用いました。
オワリ
メビウス変換はPSL₂行列と同型な構造を持ちます:
2次行列$M=\begin{eqnarray}\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \end{eqnarray} $について作用素Aを
\begin{align}A_{-λ}(M)・f(x)=(cx+d)^{λ} f\left(\dfrac{ax+b}{cx+d}\right)\end{align}
と定義すると、行列が$M_1M_2 =M_3$のとき作用素の合成として \begin{align}A_λ(M_1)A_λ(M_2)=A_λ(M_3)\end{align} $ が成立します(暇つぶしに証明できると思います) また$$A_λ \begin{eqnarray}\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)\end{eqnarray} =1$$も成立。 $リー群の話として見ていきましょう。

交換子積を$[A,B]=AB-BA$とすると以下のリー代数準同型が作れます。

sl2の微分作用素表現

\begin{align} sl_2&\cong \mathbb{C}E_0\oplus \mathbb{C}E_+ \oplus \mathbb{C}E_-\\ E_+ &:=-z^2 \p -λz\\ E_- &:=\p\\ E_0 &:=2z\p+λ\\ [E_+,E_-]&=E_0\\ [E_0,E_+]&=2E_+\\ [E_-,E_0]&=2E_-\end{align}

実際に準同型を満たしていることの確認です。
$ \left[ E_+,E_-\right] \cdot f\left( z\right) =\partial \cdot \left( z^{2}f'\left( z\right)+λzf(z) \right) -(z^{2}\partial +λz)\cdot f'\left( z\right) =2zf'\left( z\right)+λf(z) =E_0・f\left( z\right) $
$\left[ E_0,E_+\right] \cdot f\left( z\right) =2z\partial \cdot \left( -z^{2}f'\left( z\right) -λzf(z)\right) +(z^{2}\partial +λz) \cdot \left( 2zf'\left( z\right) \right) =2E_+\cdot f\left( z\right) $
$\left[ E_-,E_0\right] \cdot f\left( z\right) =\partial \cdot \left( 2zf'\left( z\right)-λf(z) \right) -(2z\partial-λ) \cdot f'\left( z\right) =2E_-\cdot f\left( z\right) $

一方行列表現もあります。

sl2の自然表現

\begin{align}E_0\leftrightarrow \left(\begin{array}{}1&0\\ 0&-1\end{array}\right)\\ E_+\leftrightarrow \left(\begin{array}{}0&1\\ 0&0\end{array}\right)\\ E_- \leftrightarrow \left(\begin{array}{}0&0\\ 1&0\end{array}\right)\\ \end{align}

実際に同じような交換関係が成立します。これは微分作用素表現が自然表現に対応する行列と同等に使えることを示しています。

$\exp \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 0 & a \\ 0 & 0 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{cc} 1 & a \\ 0 & 1 \end{array} \right) \end{eqnarray}$
$ \begin{eqnarray} \exp\left( \begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & -a \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} e^a & 0 \\ 0 & e^{-a} \end{array} \right) \end{eqnarray}$
に注意すると、線形代数のUDL分解(上三角,対角,下三角に分解)を行うことで$ad-bc=1$のもと
$$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 1 & c/d \\ 0 & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 1/d & 0 \\ 0 & d \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ b/d & 1 \end{array} \right) \end{eqnarray} $$
$$ \leftrightarrow\begin{eqnarray} A_λ\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) =A_λ\left( \begin{array}{cc} 1 & c/d \\ 0 & 1 \end{array} \right) A_λ\left( \begin{array}{cc} 1/d & 0 \\ 0 & d \end{array} \right) A_λ\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ b/d & 1 \end{array} \right) \end{eqnarray} $$
という対応が得られますが、右辺の$A_λ$の因子は順に、$1/x,\log x,x$のshift作用素になっていますから、2×2行列をシンプルな作用素に分解出来たことになり、冒頭の定理が証明できたことになります!(これは次回の記事でも用います)

このsl2の微分作用素表現はλ=0のとき射影平面の正則ベクトル場を貼り、
メビウス変換の生成子になっています。
今回はexpでリー環からリー群に具体的に対応させた公式になっています。
次の記事のexp sl2の明示公式とLie群の考え方を活用すると定理3が証明できます!

https://mathlog.info/articles/2160

メビウス変換明示公式(UDL分解しない形)

$\phi=\sqrt{a_0^2+a_+a_-}$とする。このとき
$$ \exp\left[-a_+(x^2∂+λx)+a_-∂+a_0(2x∂+λ)\right]・f(x)$$ $$= (xa_-\phi^{-1}\sinh \phi +\cosh\phi-a_0 \phi^{-1} \sinh\phi )^{-λ}f\left( \dfrac{x\phi\cosh\phi+xa_0 \sinh\phi+ a_+\sinh\phi }{xa_-\sinh \phi +\phi\cosh\phi-a_0 \sinh\phi}\right)$$

一般次元Hankel変換の作用素的表現を見ていたらモジュラー形式の定義と全く同じ構造が仕組まれていることに気づきましたので、まとめてみました。
$\gamma_1,\gamma_2\in PSL_2 \mathbb{C}$としたとき
\begin{align}A_k(\gamma_1)A_k(\gamma_2)=A_k(\gamma_1 \gamma_2)\end{align}
\begin{align}A_k(\gamma^{-1})=A_k(\gamma)^{-1}\end{align}
\begin{align}A_k(1_2)=1\end{align}
が成り立ち、最初の定理を活用します。

もっともシンプルな保型形

離散部分群 \begin{align}\Gamma_0(N)=\{\gamma\in PSL_2\mathbb{Z};c\equiv 0 \ \ (mod\ N)\}\end{align} に対して、レベル$N$、重さ$k$$mod\ N$のDirichlet指標$\chi$を保型因子につけたモジュラー形式とは、上半平面$\mathbb{H}=\{z\in\mathbb{C};Im\ z>0\}$上で正則かつ$z\rightarrow i\infty$で正則な次の微分方程式の正則関数解である。 \begin{align}\bigcap_{\gamma \in \Gamma_0 (N)}ker(A_k(\gamma)-d^{-\chi})\end{align}

次の乗算作用素$J(\gamma^{-1})$
\begin{align}J(\gamma^{-1})・f(x):=\dfrac{1}{cx+d} f(x)\end{align}
は保型因子の作用素です:
\begin{align}A_k(\gamma)=J(\gamma)^{k} A_0(\gamma)\end{align}

$A_0 (\gamma)$は特にMöbius変換作用素として知られています。保型因子の積の公式として
\begin{align}J(\gamma_1 \gamma_2)=J(\gamma_1)A_0 (\gamma_1)J(\gamma_2)A_0(\gamma_1)^{-1}\end{align}
が成立する($J(\gamma^{-1})$から定義してるので通常の関数jと少し流儀が異なるので注意)
また微分形式$\delta x$に対して平行移動とチェインルールから
\begin{align}A_0(\gamma)・\delta x=\delta \dfrac{ax+b}{cx+d}=\delta\dfrac{b-\frac{ad}{c}}{cx+d}=\dfrac{1}{(cx+d)^{2}}\delta x\end{align}
という変換を受けるので$m$次元体積要素$g(x)\delta x^{m}$の変換は
\begin{align}A_0(\gamma)・g(x)\delta x^{m}=\dfrac{\delta x^{m}}{(cx+d)^{2m}}A_0(\gamma)・g(x)=(A_{2m}(\gamma)・g(x))\delta x^{m}\end{align}
となり重さは次元と関係が深いことが分かりました。

以上は$PSL_2 ℤ$作用の固有関数についてで、今回は1変数で証明しましたが行列変数の公式に書き換えるとSiegel保型形式も今回と同様な形で書き表せます。

大体の話の参考元に関してはWikipediaしかないです。リー環については井ノ口順一氏の『初めて学ぶリー環』です。

どうだったでしょうか〜? すこし保型形式のなんやこれ感が減った気がします
では(。・ω・)ノ゙

参考文献

[1]
井ノ口順一, 初めて学ぶリー環
投稿日:202134

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投稿者

赤げふ
赤げふ
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東工大情報理工B3 数学,理論物理,Minecraft計算機/微分演算子の記事を書きます/主に表現論,量子群,物理の数理に興味があります

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