こんにちは(´∀`*)
毎度毎度誤植が多くてごめんなさい(^_^;
証明
オワリ
線形代数の固有値の話を思い出すと良いです。
任意の
であるので
一方[補題2]より
なので固有値は
固有値と固有関数の一致が取れたので作用素は等しいです。 オワリ
補題2は割と有能ですが全く見かけないのなんででしょうね(BCH公式の系でもあります)
微分作用素は変数変換をすることができます:
です。 ここまで来ればスムーズに定理を証明できます。
最後は
オワリ
メビウス変換はPSL₂行列と同型な構造を持ちます:
2次行列
と定義すると、行列が
交換子積を
実際に準同型を満たしていることの確認です。
一方行列表現もあります。
実際に同じような交換関係が成立します。これは微分作用素表現が自然表現に対応する行列と同等に使えることを示しています。
に注意すると、線形代数のUDL分解(上三角,対角,下三角に分解)を行うことで
という対応が得られますが、右辺の
このsl2の微分作用素表現はλ=0のとき射影平面の正則ベクトル場を貼り、
メビウス変換の生成子になっています。
今回はexpでリー環からリー群に具体的に対応させた公式になっています。
次の記事のexp sl2の明示公式とLie群の考え方を活用すると定理3が証明できます!
https://mathlog.info/articles/2160
一般次元Hankel変換の作用素的表現を見ていたらモジュラー形式の定義と全く同じ構造が仕組まれていることに気づきましたので、まとめてみました。
が成り立ち、最初の定理を活用します。
離散部分群
次の乗算作用素
は保型因子の作用素です:
が成立する(
また微分形式
という変換を受けるので
となり重さは次元と関係が深いことが分かりました。
以上は
大体の話の参考元に関してはWikipediaしかないです。リー環については井ノ口順一氏の『初めて学ぶリー環』です。
どうだったでしょうか〜? すこし保型形式のなんやこれ感が減った気がします
では(。・ω・)ノ゙