大学数学基礎解説

あるU(sl(2;C))の非可換変形とその表現　続

非可換環,リー環

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素人考え

ブログは素人で、数学も専門で学んでいないため、
間違えや見にくい表現がありましたら。ご指摘いただければ幸いです。

序

あるU(sl(2;C))の非可換変形とその表現の続編です。

$U (s l_{2} (C))_{J}$ の定義

$E, H, F, J$
を次の関係式を満たす非可換な元とし、
$E F - F E = \frac{J H + H J}{2}, H E - E H = J E + E J, H F - F H = - J F - F J$
$E, H, F, J, 1$
が $C$ 上生成する。(1はすべての元と可換)
単位的結合非可換環を
$U (s l_{2} (C))_{J}$
と定義する。

$U (s l_{2} (C))_{J}$ の性質

$U (s l_{2} (C))_{J}$ 上の自己同型変換

$θ_{1} = \begin{array}{r} {\begin{cases} E ⟶ F \\ F ⟶ E \\ H ⟶ - H \\ J ⟶ J \end{cases} \end{array}$
$θ_{2} = \begin{array}{r} {\begin{cases} E ⟶ F \\ F ⟶ E \\ H ⟶ H \\ J ⟶ - J \end{cases} \end{array}$
$θ_{3} = \begin{array}{r} {\begin{cases} E ⟶ E \\ F ⟶ F \\ H ⟶ - H \\ J ⟶ - J \end{cases} \end{array}$
これらの変換は、
$U (s l_{2} (C))_{J}$ の関係式を保つため、環の自己同型変換となる。
これら変換と恒等変換が生成する群はクラインの四元群である。
以下この自己同型変換群の元の任意の一つを $θ$ と記す。

$U (s l_{2} (C))_{J}$ の左加群

$U (s l_{2} (C))_{J}$ の左加群には次のものがある。

$θ$ と任意の複素ベクトル空間 $V$ と
$V$ 上の複素線形作用素 $A, B$ 及び複素数 $λ$ を指定し
下記のように定義すれば良い、( $I d$ は恒等変換)
$π_{λ, A, B} (θ (E)) = A$ $π_{λ, A, B} (θ (H)) = - A B - B A + λ I d$ $π_{λ, A, B} (θ (F)) = - B A B + λ B$ $π_{λ, A, B} (θ (J)) = A B - B A$
参照
あるU(sl(2;C))の非可換変形とその表現

$U (s l_{2} (C))_{J}$ の $C$ 上有限次元単純左加群

多項式上の左加群

${a_{n}}_{n \geq 0}$ を $a_{0} = 0$ を満たす数列とする。
$A$ を複素係数多項式環上に次のように作用する、線形作用素とする。
$A x^{n} = a_{n} x^{n - 1}$
${b_{n}}_{n \geq 0}$ を数列とする。
$B$ を複素係数多項式環上に次のように作用する、線形作用素とする。
$B x^{n} = b_{n} x^{n + 1}$

このとき、 $π_{λ, A, B} (θ (・))$ は $x^{n}$ に次のように作用する。

$π_{λ, A, B} (θ (E)) (x^{n}) = A x^{n} = a_{n} x^{n - 1}$ $π_{λ, A, B} (θ (H)) (x^{n}) = (- A B - B A + λ) (x^{n}) = (λ - a_{n + 1} b_{n} - a_{n} b_{n - 1}) x^{n}$ $π_{λ, A, B} (θ (F)) (x^{n}) = (- B A B + λ B) (x^{n}) = (λ - a_{n + 1} b_{n}) b_{n} x^{n + 1}$ $π_{λ, A, B} (θ (J)) (x^{n}) = (A B - B A) (x^{n}) = (a_{n + 1} b_{n} - a_{n} b_{n - 1}) x^{n}$ $π_{λ, A, B} (θ (H J - J H)) (x^{n}) = 0$

有限次元左加群

(1) $(λ - a_{m + 1} b_{m}) b_{m} = 0$ を満たすとき、
${x^{n}}_{m \geq n \geq 0}$ が生成する部分空間は有限次元部分左加群になる。
この左加群を $P_{λ, A, B, θ}$ とする。

$U (s l_{2} (C))_{J}$ 単純左加群

下記の $3$ 条件を満たせば $P_{λ, A, B, θ}$ が $U (s l_{2} (C))_{J}$ 単純左加群になる、
(1) $(λ - a_{m + 1} b_{m}) b_{m} = 0$
(2) $a_{n} = 0 ⟹ n = 0 または n > m + 1$
(3) $(λ - a_{n + 1} b_{n}) b_{n} = 0 ⟹ n \geq m$

$P_{λ, A, B, θ}$ の $U (s l_{2} (C))_{J}$ 単純部分左加群を $W$ を考え、
そこへの $P_{A, m, θ} (H)$ の固有空間分解を考えると、
$N \subset {n | m \geq n \geq 0}$ が存在して、
$W$ の $C$ 上の基底は、 ${x^{n}}_{n \in N}$ となる。
さらに $P_{A, m, θ} (E) (x^{n}) = A x^{n} = a_{n} x^{n - 1}$ と
(2)より $n \neq 0$ とすると、 $n \in N ⟹ n - 1 \in N$
また $P_{A, m, θ} (F) (x^{n}) = (λ - a_{n + 1} b_{n}) b_{n} x^{n + 1}$ と
(3)より $n \neq m$ とすると、 $n \in N ⟹ n + 1 \in N$
従って、 $N = {n | m \geq n \geq 0}$ または $N = \emptyset$
すなわち、 $W = P_{A, m, θ}$ または $W = {0}$
よって、 $P_{λ, A, B, θ}$ は $U (s l_{2} (C))_{J}$ 単純部分左加群である。

カシミール元の類似

$Δ = \frac{H^{2} + J^{2}}{2} + F E + E F$
で $Δ$ を定義すると、 $Δ$ は $U (s l_{2} (C))_{J}$ の中心に属する。

Δ

の可換性

$E Δ - Δ E = E (\frac{H^{2} + J^{2}}{2} + F E + E F) - (\frac{H^{2} + J^{2}}{2} + F E + E F) E = \frac{E H^{2}}{2} + \frac{E J^{2}}{2} + E F E + E^{2} F - \frac{H^{2} E}{2} - \frac{J^{2} E}{2} - F E^{2} - E F E = \frac{1}{2} (H E - J E - E J) H + \frac{1}{2} (H E - E H - J E) J + E (\frac{J H + H J}{2} + F E) - \frac{1}{2} H (J E + E J + E H) - \frac{1}{2} J (H E - E H - E J) - (E F - \frac{J H + H J}{2}) E = 0$

$F Δ - Δ F = F (\frac{H^{2} + J^{2}}{2} + F E + E F) - (\frac{H^{2} + J^{2}}{2} + F E + E F) F = \frac{F H^{2}}{2} + \frac{F J^{2}}{2} + F^{2} E + F E F - \frac{H^{2} F}{2} - \frac{J^{2} F}{2} - F E F - E F^{2} = \frac{1}{2} (H F + J F + F J) H + \frac{1}{2} (- J F - H F + F H) J + F (E F - \frac{J H + H J}{2}) - \frac{H}{2} (F H - J F - F J) - \frac{J}{2} (- F J - H F + F H) - (\frac{J H + H J}{2} + F E) F = 0$

$H Δ - Δ H = H (\frac{H^{2} + J^{2}}{2} + F E + E F) - (\frac{H^{2} + J^{2}}{2} + F E + E F) H = \frac{H J^{2}}{2} + H F E + H E F - \frac{J^{2} H}{2} - F E H - E F H = (E F - F E - \frac{J H}{2}) J + (F H - J F - F J) E + (J E + E J + E H) F - J (E F - F E - \frac{H J}{2}) - F (H E - J E - E J) - E (H F + J F + F J) = 0$

$J Δ - Δ J = J (\frac{H^{2} + J^{2}}{2} + F E + E F) - (\frac{H^{2} + J^{2}}{2} + F E + E F) J = \frac{J H^{2}}{2} + J F E + J E F - \frac{H^{2} J}{2} - F E J - E F J = (E F - F E - \frac{H J}{2}) H + (- F J - H F + F H) E + (H E - E H - E J) F - H (E F - F E - \frac{J H}{2}) - F (H E - E H - J E) - E (- J F - H F + F H) = 0$

終わりに代えて、今後の研究方針

$s l_{2} (C)$ のウェイト理論をなんとか類似したい。

投稿日：2021年3月5日

更新日：2024年8月25日

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$U(\boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C}))_J$の性質
$U(\boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C}))_J$上の自己同型変換
$U(\boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C}))_J$の左加群
$U(\boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C}))_J$の $\mathbb{C}$上有限次元単純左加群
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U(sl2(C))J上の自己同型変換

U(sl2(C))Jの左加群

U(sl2(C))Jの C上有限次元単純左加群

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$U (s l_{2} (C))_{J}$ の左加群

$U (s l_{2} (C))_{J}$ の $C$ 上有限次元単純左加群

$U (s l_{2} (C))_{J}$ 単純左加群