あるU(sl(2;C))の非可換変形とその表現　続

序

あるU(sl(2;C))の非可換変形とその表現 の続編です。

$U(\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C}){)}_J$の定義

$E,H,F,J$
を次の関係式を満たす非可換な元とし、
$$\begin{gathered} EF-FE=\frac{JH+HJ}{2}, \\ HE-EH=JE+EJ, \\ HF-FH=-JF-FJ \end{gathered}$$
$E,H,F,J,1$
が $\mathbb{C}$上生成する。(1はすべての元と可換)
単位的結合非可換環を
$$U(\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C}){)}_J$$
と定義する。

$U(\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C}){)}_J$の性質

$U(\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C}){)}_J$上の自己同型変換

$${\theta }_1=\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}E⟶F\\ F⟶E\\ H⟶-H\\ J⟶J\end{array}\end{array}$$
$${\theta }_2=\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}E⟶F\\ F⟶E\\ H⟶H\\ J⟶-J\end{array}\end{array}$$
$${\theta }_3=\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}E⟶E\\ F⟶F\\ H⟶-H\\ J⟶-J\end{array}\end{array}$$
これらの変換は、
$U(\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C}){)}_J$の関係式を保つため、環の自己同型変換となる。
これら変換と恒等変換が生成する群はクラインの四元群である。
以下この自己同型変換群の元の任意の一つを$\theta$と記す。

$U(\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C}){)}_J$の左加群

$U(\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C}){)}_J$の左加群には次のものがある。

$\theta$と任意の複素ベクトル空間$V$と
$V$上の複素線形作用素$A,B$及び複素数$\lambda$を指定し
下記のように定義すれば良い、($Id$は恒等変換)
$${\pi }_{\lambda ,A,B}(\theta (E))=A$$ $${\pi }_{\lambda ,A,B}(\theta (H))=-AB-BA+\lambda Id$$ $${\pi }_{\lambda ,A,B}(\theta (F))=-BAB+\lambda B$$ $${\pi }_{\lambda ,A,B}(\theta (J))=AB-BA$$
参照
あるU(sl(2;C))の非可換変形とその表現

$U(\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C}){)}_J$の $\mathbb{C}$上有限次元単純左加群

多項式上の左加群

$\{a_n{\}}_{n\ge 0}$を$a_0=0$を満たす数列とする。
$A$を複素係数多項式環上に次のように作用する、線形作用素とする。
$$A{x}^n=a_n{x}^{n-1}$$
$\{b_n{\}}_{n\ge 0}$を数列とする。
$B$を複素係数多項式環上に次のように作用する、線形作用素とする。
$$B{x}^n=b_n{x}^{n+1}$$

このとき、${\pi }_{\lambda ,A,B}(\theta (・))$は$x^n$に次のように作用する。

$${\pi }_{\lambda ,A,B}(\theta (E))(x^n)=A{x}^n=a_n{x}^{n-1}$$ $${\pi }_{\lambda ,A,B}(\theta (H))(x^n)=(-AB-BA+\lambda )(x^n)=(\lambda -a_{n+1}{b}_n-a_n{b}_{n-1})x^n$$ $${\pi }_{\lambda ,A,B}(\theta (F))(x^n)=(-BAB+\lambda B)(x^n)=(\lambda -a_{n+1}{b}_n)b_n{x}^{n+1}$$ $${\pi }_{\lambda ,A,B}(\theta (J))(x^n)=(AB-BA)(x^n)=(a_{n+1}{b}_n-a_n{b}_{n-1})x^n$$ $${\pi }_{\lambda ,A,B}(\theta (HJ-JH))(x^n)=0$$

有限次元左加群

(1)$(\lambda -a_{m+1}{b}_m)b_m=0$を満たすとき、
$\{x^n{\}}_{m\ge n\ge 0}$が生成する部分空間は有限次元部分左加群になる。
この左加群を$P_{\lambda ,A,B,\theta }$とする。

$U(\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C}){)}_J$単純左加群

下記の$3$条件を満たせば$P_{\lambda ,A,B,\theta }$が$U(\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C}){)}_J$単純左加群になる、
(1)$(\lambda -a_{m+1}{b}_m)b_m=0$
(2)$a_n=0⟹n=0またはn>m+1$
(3)$(\lambda -a_{n+1}{b}_n)b_n=0⟹n\ge m$

カシミール元の類似

$$\mathrm{\Delta }=\frac{H^2+J^2}{2}+FE+EF$$
で$\mathrm{\Delta }$を定義すると、$\mathrm{\Delta }$は$U(\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C}){)}_J$の中心に属する。

終わりに代えて、今後の研究方針

$\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C})$のウェイト理論をなんとか類似したい。