あるU(sl(2;C))の非可換変形とその表現　続

序

あるU(sl(2;C))の非可換変形とその表現 の続編です。

$U(\boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C}))_J$の定義

$E,H,F,J$
を次の関係式を満たす非可換な元とし、
$$EF−FE=\frac{JH+HJ}{2},\\HE−EH=JE+EJ,\\HF−FH=−JF−FJ$$
$E,H,F,J,1$
が $\mathbb{C}$上生成する。(1はすべての元と可換)
単位的結合非可換環を
$$U(\boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C}))_J$$
と定義する。

$U(\boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C}))_J$の性質

$U(\boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C}))_J$上の自己同型変換

$$\theta_1=\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} E \longrightarrow F\\ F \longrightarrow E\\ H \longrightarrow -H\\ J \longrightarrow J \end{array} \right. \end{eqnarray} $$
$$\theta_2=\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} E \longrightarrow F\\ F \longrightarrow E\\ H \longrightarrow H\\ J \longrightarrow -J \end{array} \right. \end{eqnarray} $$
$$\theta_3=\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} E \longrightarrow E\\ F \longrightarrow F\\ H \longrightarrow -H\\ J \longrightarrow -J \end{array} \right. \end{eqnarray} $$
これらの変換は、
$U(\boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C}))_J$の関係式を保つため、環の自己同型変換となる。
これら変換と恒等変換が生成する群はクラインの四元群である。
以下この自己同型変換群の元の任意の一つを$\theta$と記す。

$U(\boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C}))_J$の左加群

$U(\boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C}))_J$の左加群には次のものがある。

$\theta$と任意の複素ベクトル空間$V$と
$V$上の複素線形作用素$A,B$及び複素数$\lambda$を指定し
下記のように定義すれば良い、($Id$は恒等変換)
$$ \pi_{\lambda,A,B}(\theta(E)) = A$$ $$ \pi_{\lambda,A,B}(\theta(H)) = -AB-BA+\lambda Id$$ $$ \pi_{\lambda,A,B}(\theta(F)) = -BAB+\lambda B$$ $$ \pi_{\lambda,A,B}(\theta(J))=AB-BA$$
参照
あるU(sl(2;C))の非可換変形とその表現

$U(\boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C}))_J$の $\mathbb{C}$上有限次元単純左加群

多項式上の左加群

$\lbrace a_n \rbrace_{n \geq0}$を$a_0=0$を満たす数列とする。
$A$を複素係数多項式環上に次のように作用する、線形作用素とする。
$$Ax^n=a_nx^{n-1}$$
$\lbrace b_n \rbrace_{n \geq0}$を数列とする。
$B$を複素係数多項式環上に次のように作用する、線形作用素とする。
$$Bx^n=b_nx^{n+1}$$

このとき、$\pi_{\lambda,A,B}(\theta(・))$は$x^n$に次のように作用する。

$$\pi_{\lambda,A,B}(\theta(E)) (x^n)= Ax^n=a_nx^{n-1}$$ $$ \pi_{\lambda,A,B}(\theta(H))(x^n) = (-AB-BA+\lambda)(x^n)=(\lambda-a_{n+1}b_n-a_nb_{n-1})x^n $$ $$ \pi_{\lambda,A,B}(\theta(F))(x^n) = (-BAB+\lambda B) (x^n)=(\lambda -a_{n+1}b_n)b_nx^{n+1}$$ $$ \pi_{\lambda,A,B}(\theta(J))(x^n)=(AB-BA)(x^n)=(a_{n+1}b_n-a_nb_{n-1})x^n$$ $$ \pi_{\lambda,A,B}(\theta(HJ-JH))(x^n)=0\\ $$

有限次元左加群

(1)$(\lambda-a_{m+1}b_m)b_m=0$を満たすとき、
$\lbrace x^n \rbrace_{m\geq n \geq0}$が生成する部分空間は有限次元部分左加群になる。
この左加群を$P_{\lambda,A,B,\theta}$とする。

$U(\boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C}))_J$単純左加群

下記の$3$条件を満たせば$P_{\lambda,A,B,\theta}$が$U(\boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C}))_J$単純左加群になる、
(1)$(\lambda-a_{m+1}b_m)b_m=0$
(2)$a_n=0 \Longrightarrow n=0 またはn>m+1$
(3)$(\lambda-a_{n+1}b_n)b_n=0 \Longrightarrow n \geq m$

カシミール元の類似

$$ \Delta=\frac{H^2+J^2}{2}+FE+EF$$
で$\Delta$を定義すると、$\Delta$は$U(\boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C}))_J$の中心に属する。

終わりに代えて、今後の研究方針

$\boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C})$のウェイト理論をなんとか類似したい。