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Al-SalamによるSaalschütz型二重q超幾何級数の和公式

次は1963年に示されたSaalschütz型の二重超幾何級数に関する Carlitzの和公式の $q$ 類似である.

Al-Salam(1965)

$n, m$ を非負整数, $c d = a b q^{1 - n}, c d^{'} = a b^{'} q^{1 - m}, c = b b^{'}$ としたとき,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k, l} \frac{(b, q^{- n}; q)_{k}}{(d, q; q)_{k}} \frac{(b^{'}, q^{- m}; q)_{l}}{(d^{'}, q; q)_{l}} \frac{(a; q)_{k + l}}{(c; q)_{k + l}} q^{k + l} \\ = \frac{(b b^{'} / a; q)_{m + n} (b; q)_{m} (b^{'}; q)_{n}}{(b b^{'}; q)_{m + n} (b / a; q)_{m} (b^{'} / a; q)_{n}} \end{aligned}$
が成り立つ.

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k, l} \frac{(b, q^{- n}; q)_{k}}{(d, q; q)_{k}} \frac{(b^{'}, q^{- m}; q)_{l}}{(d^{'}, q; q)_{l}} \frac{(a; q)_{k + l}}{(c; q)_{k + l}} q^{k + l} \\ = \sum_{0 \leq k} \frac{(a, b, q^{- n}; q)_{k}}{(c, d, q; q)_{k}} q^{k} \sum_{0 \leq l} \frac{(a q^{k}, b^{'}, q^{- m}; q)_{l}}{(c q^{k}, d^{'}, q; q)_{l}} q^{l} \end{aligned}$
ここで, $q$ -Saalschützの和公式より,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq l} \frac{(a q^{k}, b^{'}, q^{- m}; q)_{l}}{(c q^{k}, d^{'}, q; q)_{l}} q^{l} & = \frac{(c / a, c q^{k} / b^{'}; q)_{m}}{(c q^{k}, c / a b^{'}; q)_{m}} \\ = \frac{(c / a, c / b^{'}; q)_{m}}{(c, c / a b^{'}; q)_{m}} \frac{(c, c q^{m} / b^{'}; q)_{k}}{(c q^{m}, c / b^{'}; q)_{k}} \\ = \frac{(c / a, c / b^{'}; q)_{m}}{(c, c / a b^{'}; q)_{m}} \frac{(c, b q^{m}; q)_{k}}{(c q^{m}, b; q)_{k}} \end{aligned}$
だから,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k} \frac{(a, b, q^{- n}; q)_{k}}{(c, d, q; q)_{k}} q^{k} \sum_{0 \leq l} \frac{(a q^{k}, b^{'}, q^{- m}; q)_{l}}{(c q^{k}, d^{'}, q; q)_{l}} q^{l} \\ = \frac{(c / a, c / b^{'}; q)_{m}}{(c, c / a b^{'}; q)_{m}} \sum_{0 \leq k} \frac{(a, b q^{m}, q^{- n}; q)_{k}}{(c q^{m}, d, q; q)_{k}} q^{k} \end{aligned}$
ここで, 再び $q$ -Saalschützの和公式より,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k} \frac{(a, b q^{m}, q^{- n}; q)_{k}}{(c q^{m}, d, q; q)_{k}} q^{k} & = \frac{(c q^{m} / a, c / b; q)_{n}}{(c q^{m}, c / a b; q)_{n}} \end{aligned}$
だから, これを代入して $c = b b^{'}$ を用いて書き直せば定理を得る.

次は1964年に示されたSaalschütz型の二重超幾何級数に関するCarlitzの和公式の $q$ 類似である.

Al-Salam(1965)

$c d = a b q^{1 - n}, c d^{'} = a^{'} b^{'} q^{1 - n}, c = b b^{'}$ のとき,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k, l} \frac{(a, b; q)_{k}}{(d, q; q)_{k}} \frac{(a^{'}, b^{'}; q)_{l}}{(d^{'}, q; q)_{l}} \frac{(q^{- n}; q)_{k + l}}{(c; q)_{k + l}} q^{k + l} & = \frac{(b, b^{'}, c / a a^{'}; q)_{n}}{(c, b / a^{'}, b^{'} / a; q)_{n}} \end{aligned}$
が成り立つ.

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k, l} \frac{(a, b; q)_{k}}{(d, q; q)_{k}} \frac{(a^{'}, b^{'}; q)_{l}}{(d^{'}, q; q)_{l}} \frac{(q^{- n}; q)_{k + l}}{(c; q)_{k + l}} q^{k + l} \\ = \sum_{0 \leq k} \frac{(a, b, q^{- n}; q)_{k}}{(c, d, q; q)_{k}} q^{k} \sum_{0 \leq l} \frac{(a^{'}, b^{'}, q^{k - n}; q)_{l}}{(c q^{k}, d^{'}, q; q)_{l}} q^{l} \end{aligned}$
ここで, $q$ -Saalschützの和公式より,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq l} \frac{(a^{'}, b^{'}, q^{k - n}; q)_{l}}{(c q^{k}, d^{'}, q; q)_{l}} q^{l} & = \frac{(c q^{k} / a^{'}, c q^{k} / b^{'}; q)_{n - k}}{(c q^{k}, c q^{k} / a^{'} b^{'}; q)_{n - k}} \\ = \frac{(c / a^{'}, c / b^{'}; q)_{n}}{(c, c / a^{'} b^{'}; q)_{n}} \frac{(c, c / a^{'} b^{'}; q)_{k}}{(c / a^{'}, b; q)_{k}} \end{aligned}$
だから, これを代入すると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k} \frac{(a, b, q^{- n}; q)_{k}}{(c, d, q; q)_{k}} q^{k} \sum_{0 \leq l} \frac{(a^{'}, b^{'}, q^{k - n}; q)_{l}}{(c q^{k}, d^{'}, q; q)_{l}} q^{l} \\ = \frac{(c / a^{'}, c / b^{'}; q)_{n}}{(c, c / a^{'} b^{'}; q)_{n}} \sum_{0 \leq k} \frac{(a, c / a^{'} b^{'}, q^{- n}; q)_{k}}{(c / a^{'}, d, q; q)_{k}} q^{k} \end{aligned}$
再び $q$ -Saalschützの和公式より,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k} \frac{(a, c / a^{'} b^{'}, q^{- n}; q)_{k}}{(c / a^{'}, d, q; q)_{k}} q^{k} & = \frac{(c / a a^{'}, b^{'}; q)_{n}}{(c / a^{'}, b^{'} / a; q)_{n}} \end{aligned}$
だから, これを代入して $c = b b^{'}$ を用いて整理することによって定理を得る.