研究の整理

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今までにやった一般化をまとめます.例によって $R, X$ をそれぞれ(可換とは限らない)環,全順序群とする.また自然な写像 $f : Z ⟶ R$ を考え,整数を $R$ の元と見なす.

付値の一般化

写像 $R ⟶ X \cup {\infty}$ に対して以下の条件を考える.
$(1) v (x y) \geq v (x) + v (y)$
$(2) v (x + y) \geq min (v (x), v (y))$
$(3) v (1) = v (- 1) = 0, v (0) = \infty$
$(4)$ 環 $R^{'}$ ,そのイデアル $I$ を $R^{'} = {x \in R | v (x) \geq 0}, I = {x \in R | v (x) > 0}$ で定めたとき,
$\overset{―}{x} \in (R / I)^{*} ⟹ v (x y) = v (y x) = v (y)$
$(5) n \in Z ⟹ v (n x) = v (x) + v (n)$
$(6) v (x^{n}) = n v (x)$

このうち $(1), (2), (3)$ は常に仮定する.
次の補題は頻繁に用いる.

$v (x) \neq v (y)$ ならば $v (x + y) = min (v (x), v (y))$ である.

対称性より $v (x) < v (y)$ の時のみ示せば良い. $v (- y) \geq v (y) + v (- 1) = v (y)$ , $v (x + y) \geq v (x)$ より
$\begin{aligned} v (x + y) \geq & v (x) \\ = & v (x + y - y) \\ \geq & min (v (x + y), v (- y)) \\ \geq & min (v (x + y), v (y)) = X \end{aligned}$ となる. $X = v (y)$ のときは $v (x) \geq v (y)$ となり,矛盾するので, $X = v (x + y)$ .よって上の式の不等号が全て等号であるので,示された.

$(4)$ の正当性は以下で保障される.

$R^{'}$ は環であり $I$ は $R^{'}$ のイデアルである.

$a, b \in R^{'}, x, y \in I$ とすると, $v (a) \geq 0, v (b) \geq 0, v (x) > 0, v (y) > 0$ である.
$v (a + b) \geq min (v (a), v (b)) \geq 0,$
$v (a b) \geq v (a) + v (b) \geq 0,$
$v (1) = 0, v (- 1) = 0, v (0) = \infty$
より $R^{'}$ は環であり,
$v (x + y) \geq min (v (x), v (y)) > 0,$
$v (x y) \geq v (x) + v (y) > 0,$
$v (a x) \geq v (a) + v (x) > 0$
より $I$ はイデアルである.

$(4)$ を仮定すれば $v (1) = v (- 1) = 0$ は自明だが,そもそも $R^{'} / I$ を定義するために $v (1) = v (- 1) = 0$ を仮定する必要があるのでこれらを条件から外すことは難しい.

$(4)$ を少し言い換えてみる.(後で使うわけではない)

$(4)$ は以下と同値: $x \in (R^{'} / I)^{*} ⟹ v (x) = 0$

$x \in (R^{'} / I)^{*}$ とする.
$(4)$ を仮定すると $v (x) = v (1 \cdot x) = v (1) = 0$ となり $⟹$ は示された.
逆に $x \in (R^{'} / I)^{*} ⟹ v (x) = 0$ とすると, $v (a x) \geq v (a) + v (x) = v (a)$ より, $v (a x) \geq v (a)$ である.また, $x$ の $(R^{'} / I)^{*}$ での逆元を $y$ とすると $x y = 1 + z$ となる $z \in I$ が存在する.よって $v (a z) \geq v (a) + v (z) > v (a)$ より補題1から $v (a) = v (a + a z) = v (a (1 + z)) = v (a x y) \geq v (a x) + v (y) = v (a x)$ となり( $y \in (R^{'} / I)^{*}$ に注意) $v (a x) = v (a)$ が示された. $v (x a)$ についても同様である.

次の補題は最後の方の一般化で重宝する.

$(5)$ を仮定すると $I \cap Z$ は素イデアル.正確に言うと $f^{- 1} (I)$ は素イデアル.

$1 \notin f^{- 1} (I)$ より, $f^{- 1} (I) \neq Z$ である. $a b \in f^{- 1} (I)$ となる正整数が存在するとすると, $0 < v (a b) = v (a) + v (b)$ となる. $a, b \notin f^{- 1} (I)$ とすると $v (a) \leq 0, v (b) \leq 0$ となるので $v (a) + v (b) \leq 0$ となり,矛盾する.よって示された.

LTEの補題の一般化

以下, $v$ は $(4)$ を満たすとする.

$x \in R$ が $x - 1 \in I$ を満たすなら任意の $n \in (R^{'} / I)^{*}$ となる正整数に対して $v (x^{n} - 1) = v (x - 1)$ が成立する.

仮定より $x - 1 = t$ とおくと $v (t) > 0$ であり, $\begin{aligned} v (x^{n} - 1) = & v ((t + 1)^{n} - 1) \\ = & v (t^{n} + n t^{n - 1} +_{n} C_{2} t^{n - 2} + . . . +_{n} C_{n - 2} t^{2} + n t + 1 - 1) \\ = & v ((t^{n - 2} + n t^{n - 2} +_{n} C_{2} t^{n - 3} + . . . +_{n} C_{n - 2} t + n) t) \end{aligned}$
ここで $t \in I$ より $\overset{―}{t^{n - 2} + n t^{n - 2} +_{n} C_{2} t^{n - 3} + . . . +_{n} C_{n - 2} t + n} = \overset{―}{n} \in (R^{'} / I)^{*}$ なので $(4)$ より, $v (x^{n} - 1) = v ((t^{n - 2} + n t^{n - 2} +_{n} C_{2} t^{n - 3} + . . . +_{n} C_{n - 2} t + n) t) = v (t) = v (x - 1)$
がわかる.

以下, $v$ は $(5)$ も満たすとする.このとき素数または $0$ である $p$ で $f^{- 1} (I) = (p)$ となるものがある.これを $p_{v}$ とおく.また整数が $p_{v}$ で割り切れる回数を $v^{'}$ とする.
すると定理 $5$ より少しだけ強い定理が成立する.

$x \in R$ が $x - 1 \in I$ を満たすなら任意の $v (n) = 0$ となる正整数に対して $v (x^{n} - 1) = v (x - 1)$ が成立する.

仮定より $x - 1 = t$ とおくと $v (t) > 0$ であり, $\begin{aligned} v (x^{n} - 1) = & v ((t + 1)^{n} - 1) \\ = & v (t^{n} + n t^{n - 1} +_{n} C_{2} t^{n - 2} + . . . +_{n} C_{n - 2} t^{2} + n t + 1 - 1) \\ = & v (t^{n} + n t^{n - 1} +_{n} C_{2} t^{n - 2} + . . . +_{n} C_{n - 2} t^{2} + n t) \end{aligned}$
ここで $a > b$ なら $v (t^{a}) > v (t^{b})$ なので補題 $1$ から $v (t^{n} + n t^{n - 1} +_{n} C_{2} t^{n - 2} + . . . +_{n} C_{n - 2} t^{2}) = v (_{n} C_{n - 2} t^{2}) > v (t)$ であり,仮定 $(5)$ より $v (n t) = v (t)$ なので再び補題 $1$ から, $v (x^{n} - 1) = v (x - 1)$ を得る.

またこの定理も成立する.

$x \in R$ は $x - 1 \in I$ を満たすとする. $p_{v} = 0$ または $v ((x - 1)^{p_{v} - 1}) > v (p_{v})$ を満たすなら $n$ を任意の正整数とすると $v (x^{n} - 1) = v (x - 1) + v (n)$ が成立する.

$2$ 以上の全ての正整数 $k$ に対して $v ((x - 1)^{k - 1}) > v (k)$ を満たす事を示す.... $(A)$
$p_{v} = 0$ のときは $v (k) = 0$ で, $v ((x - 1)^{k - 1}) \geq v (x - 1) > 0$ なので $p_{v} > 0$ とする.
$v (k) = 0$ のときは同様に示せるので $v (k) > 0$ とする. $p_{v}^{l}$ に対して $v ((x - 1)^{p_{v}^{l} - 1}) > v (p_{v}^{l}) = l v (p_{v})$ が示せれば, $v ((x - 1)^{p_{v}^{v^{'} (k)} - 1}) \leq v ((x - 1)^{k - 1})$ , $v (k) = v (p_{v}^{v^{'} (k)})$ なので示すことができる.
仮定より
$v ((x - 1)^{p_{v}^{l} - 1}) \geq \frac{p_{v}^{l} - 1}{p_{v} - 1} v ((x - 1)^{p_{v} - 1}) > \frac{p_{v}^{l} - 1}{p_{v} - 1} v (p_{v})$ となるので,後は $\frac{p_{v}^{l} - 1}{p_{v} - 1} \geq l$ を示すことになるがこれは左辺を展開すればわかる.よって $(A)$ は示された.

仮定より $x - 1 = t$ とおくと $v (t) > 0$ であり, $\begin{aligned} v (x^{n} - 1) = & v ((t + 1)^{n} - 1) \\ = & v (t^{n} + n t^{n - 1} +_{n} C_{2} t^{n - 2} + . . . +_{n} C_{2} t^{2} + n t + 1 - 1) \\ = & v ((t^{n} + n t^{n - 1} +_{n} C_{2} t^{n - 2} + . . . +_{n} C_{2} t^{2} + n t) \end{aligned}$ よって補題 $1$ から, $2$ 以上 $n$ 以下の整数 $k$ に対して $v (_{n} C_{k} t^{k}) > v (n t)$ を示せば良い.
$\begin{aligned} v (_{n} C_{k} t^{k}) + v (k) = & v (k_{n} C_{k} t^{k}) \\ = & v (n_{n - 1} C_{k - 1} t^{k}) \\ \geq & v (n t^{k}) \\ = & v (t^{k - 1}) + v (n t) \\ > & v (k) + v (n t) \end{aligned}$ (最後の変形に $(A)$ を用いている.)よって補題 $1$ から $v (x^{n} - 1) = v (n (x - 1)) = v (x - 1) + v (n)$ を得る.

さらに $(6)$ を仮定するともっと強い定理が成り立つ.
簡単のため $X = R$ としておく.

$v$ は $(6)$ を満たすとする. $v (x - 1) > 0$ とすると以下が成り立つ.
$(1) v (x - 1) > \frac{v (p_{v})}{p_{v} - 1}$ のとき $v (x^{n} - 1) = v (x - 1) + v (n)$
$(2) 0 < v (x - 1) \leq \frac{v (p_{v})}{p_{v} - 1}$ のとき $L = \log_{p_{v}} (\frac{p_{v} v (p_{v})}{(p_{v} - 1) v (x - 1)})$ とおくと,
$(2 - 1) v^{'} (n) < L$ のとき $v (x^{n} - 1) = p^{v^{'} (n)} v (x - 1)$
$(2 - 2) v^{'} (n) \geq L$ のときは $v (x^{n} - 1) = v (x^{p^{[L]}} - 1) + v (n) - v (p_{v}) [L]$
特に $L$ が整数でないなら $v (x^{n} - 1) = p_{v}^{[L]} v (x - 1) + v (n) - v (p_{v}) [L]$
が成り立つ.ただし $[]$ は中の数字以下の最大の整数,つまりガウス記号を表す.

$(1)$ は仮定の $(6)$ と定理 $7$ から従う.
$(2)$ を示すためにまず以下の補題を示す.

上の仮定の下で $0 < v (x - 1) < \frac{v (p_{v})}{p_{v} - 1}$ ならば $v (x^{p_{v}} - 1) = p_{v} v (x - 1)$

$x - 1 = t$ とおく. $v (x^{p_{v}} - 1) = v ((x - 1)^{p_{v}} + x^{p_{v}} - 1 - (x - 1)^{p_{v}}) = v (t^{p_{v}} + (t + 1)^{p_{v}} - 1 - t^{p_{v}})$ である. $(t + 1)^{p_{v}} - 1 - t^{p_{v}}$ は $t$ の多項式と見なすと, $t$ で割り切れ,展開すると各項は $p_{v}$ で割り切れるので $v ((t + 1)^{p_{v}} - 1 - t^{p_{v}}) \geq v (t) + v (p_{v}) > v (t) + (p_{v} - 1) v (t) = v (t^{p_{v}})$ (2つめの変形で仮定を使った.).従って補題 $1$ より, $v (x^{p_{v}} - 1) = v (t^{p_{v}}) = p_{v} v (x - 1)$ となり,示された.

定理8の(2)

まず,定理 $6$ より, $n = p_{v}^{m}$ と置いて良い.補題 $9$ より, $v (x^{n} - 1) < \frac{v (p_{v})}{p_{v} - 1}$ のときは $v (x^{p_{v} n} - 1) = p_{v} v (x^{n} - 1)$ が成り立つので,帰納的に考えて, $m < \log_{p_{v}} (\frac{p_{v} v (p_{v})}{(p_{v} - 1) v (x - 1)}) = L$ のときは $v (x^{n} - 1) = n v (x - 1)$ が成り立つ.
また $m \geq L$ のときは, $L - 1 < [L] \leq L \leq m$ なので $[L] < L$ つまり, $L$ が整数でないときは上の結果から, $v (x^{p_{v}^{[L]}} - 1) = p_{v}^{[L]} v (x - 1) > \frac{v (p_{v})}{p_{v} - 1}$ となる.ここに $(1)$ が使えて,
$v (x^{n} - 1) = v (x^{p_{v}^{[L]}} - 1) + v (p_{v}^{m - [L]}) = p_{v}^{[L]} v (x - 1) + v (n) - v (p_{v}) [L]$ となる. $L$ が整数のときもほとんど同様である.補題 $9$ において $v (x - 1) = \frac{v (p_{v})}{p_{v} - 1}$ とすると,最後の補題 $1$ が使えるところの等号が使えないだけなので $v (x^{p_{v}} - 1) \geq p_{v} v (x - 1)$ が言える.従って $v (x^{p^{L}} - 1) \geq p^{L} v (x - 1)$ .後は同様にして, $v (x^{n} - 1) = v (x^{p^{L}} - 1) + v (p^{m - L}) = v (x^{p^{[L]}} - 1) + v (n) - [L] v (p_{v})$ となり,示された.