そろそろ簡単なやつとか解いたかどうかわからなくなってきてしまってる気がするので迷ったら過去の記事を確認してます. 前回( https://mathlog.info/articles/1929 )
51個目( https://twitter.com/integralsbot/status/1361521861754978309 )
積分路の変更をしてみると, うまくいくと思いました.
半径
ここで,
また,
より, これを先ほどの式に代入して,
が得られる.
52個目( https://twitter.com/integralsbot/status/1361529040545398786 )
これは解けないかな, と思ったりしましたが, 僕たちの論文の結果を用いてなんとか示すことができました.
ここで, Euler積分により,
ここで, Multivariable connected sums and multiple polylogarithms(
https://arxiv.org/abs/2103.05492
) のExample 5.6より,
だから,
よって, 解析接続により,
ここで,
に,
を代入すると,
これより,
53個目( https://twitter.com/integralsbot/status/1361536692058955776 )
AはGlaisher-Kinkelinの定数ですね.
54個目( https://twitter.com/integralsbot/status/1361547949419945984 )
まず,
に,
となることと,
であることを確認しておく.
第1項は
ここで,
よって,
第2項は,
第3項は,
よって, もとの積分は,
55個目( https://twitter.com/integralsbot/status/1361561852896047104 )
一見, Frullani integralかと思ったらそうじゃないので, Mellin変換を考える以外にあるんですかね.
より, Mellin inversion theoremより,
56個目( https://twitter.com/integralsbot/status/1361567217591099393 )
一見難しそうですが, よく考えると特殊な場合のみを証明すれば十分であることが分かります.
よって,
を示せば十分である. これは,
よって, 示された.
57個目( https://twitter.com/integralsbot/status/1361573714106613763 )
少し悩みましたが, 割と単純でした.
より,
とする. Euler積分より,
ここで,
よって,
58個目( https://twitter.com/integralsbot/status/1361589463978303493 )
本日2回目のGlaisher-Kinkelinの定数ですね. とりあえず, Mellin変換です.
ここで, Mellin変換を考える.
よって,
よって, この両辺を
ここで,
59個目( https://twitter.com/integralsbot/status/1361609590052421633 )
この式は間違ってますね. 具体的には
となりますが, これは一般に
60個目( https://twitter.com/integralsbot/status/1361619682881642497 )
ここで,
解析接続により,
となって, 示すことができた.
なんと, 今回は全部わかりました. これで50個示したことになりますね. ついに目標の半分いきました. (59個目は式自体が間違ってたけど, 反証という意味で示したことにする人)