この記事は, 下の記事に掲載している例題の解答です.
https://mathlog.info/articles/579
10101を素因数分解してください.
10101=10201−100=1012−102=111×91=3×7×13×37
1030301を素因数分解してください.
f(x)=x3+3x2+3x+1=(x+1)3と置く.f(100)=1000000+30000+300+1=1030301f(x)=(x+1)3より,
1030301=f(100)=(100+1)3=1013
5609を素因数分解してください.
5609=5625−16=752−42=71×79
9919を素因数分解してください.
9919=10000−81=1002−92=91×109=7×13×109
3913を素因数分解してください.
3913=3003+910=3×7×11×13+10×7×13=7×13×(3×11+10)=7×13×43
44733を素因数分解してください.
44733=44400+333=111×(400+3)=3×37×403ここで,403=484−81=222−92=13×31より,
44733=3×37×13×31=3×13×31×37
29197を素因数分解してください.
f(x)=3x2−8x−3とする.f(100)=30000−800−3=29197f(x)=(3x+1)(x−3)より,
29197=f(100)=(3×100+1)×(100−3)=7×43×97
1010009を素因数分解してください.
1010009=1010025−16=10052−42=1001×1009=7×11×13×1009
343403を素因数分解してください.
3倍して考える.343403×3=1030209=1030225−16=10152−42=1011×1019=3×337×1019
よって, 343403=337×1019
670033を素因数分解してください.
3倍して考える.670033×3=2010099f(x)=2x3+x2+x−1とすると,f(100)=2000000+10000+100−1=2010099f(12)=2×(12)3+(12)2+12−1=0より, f(x)=(2x−1)(x2+x+1)とできる.
よって, 2010099=f(100)=(2×100−1)×(1002+100+1)=199×10101=3×7×13×37×199
670033=7×13×37×199
x4+5x3+6x2−4x−16=0の実数解をすべて求めてください.
f(x)=x4+5x3+6x2−4x−16とする.f(10)=10000+5000+600−40−16=1554415544=15625−81=1252−92=116×134ここで, p(x)=x2+2x−4,q(x)=x2+3x+4とする.p(10)=116,q(10)=134より, f(10)=p(10)q(10)ここから,f(x)=p(x)q(x)を導く.[省略]
つまり, x4+5x3+6x2−4x−16=(x2+2x−4)(x2+3x+4)である.p(x)とq(x)の判別式を考えると,p(x)はD=22−4⋅1⋅(−4)>0より, p(x)は異なる実数解を2つ持つ.またその解は, x=−2±22−4⋅1⋅(−4)2=−1±5である.q(x)はD=32−4⋅1⋅4<0より, q(x)は実数解を持たない
よって, x4+5x3+6x2−4x−16=0の実数解は2つで, その解はx=−1±5である.
今回の応用問題のように, 4次式を2つの2次式の積に因数分解するときは, f(10)やf(100)を試してみると良いかもしれません.
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