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素因数分解のやりかた 練習問題の答え版

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この記事は, 下の記事に掲載している例題の解答です.

https://mathlog.info/articles/579

難易度2

10101を素因数分解してください.

10101=10201100=1012102=111×91=3×7×13×37

難易度3

1030301を素因数分解してください.

f(x)=x3+3x2+3x+1=(x+1)3と置く.
f(100)=1000000+30000+300+1=1030301
f(x)=(x+1)3より,

1030301=f(100)=(100+1)3=1013

難易度3

5609を素因数分解してください.

5609=562516=75242=71×79

難易度4

9919を素因数分解してください.

9919=1000081=100292=91×109=7×13×109

難易度5

3913を素因数分解してください.

3913=3003+910=3×7×11×13+10×7×13=7×13×(3×11+10)=7×13×43

難易度5

44733を素因数分解してください.

44733=44400+333=111×(400+3)=3×37×403
ここで,403=48481=22292=13×31より,

44733=3×37×13×31=3×13×31×37

難易度6

29197を素因数分解してください.

f(x)=3x28x3とする.
f(100)=300008003=29197
f(x)=(3x+1)(x3)より,

29197=f(100)=(3×100+1)×(1003)=7×43×97

難易度7

1010009を素因数分解してください.

1010009=101002516=1005242
=1001×1009=7×11×13×1009

難易度8

343403を素因数分解してください.

3倍して考える.
343403×3=1030209=103022516=1015242
=1011×1019=3×337×1019

よって, 343403=337×1019

難易度10

670033を素因数分解してください.

3倍して考える.
670033×3=2010099
f(x)=2x3+x2+x1とすると,
f(100)=2000000+10000+1001=2010099
f(12)=2×(12)3+(12)2+121=0
より, f(x)=(2x1)(x2+x+1)とできる.

よって, 2010099=f(100)=(2×1001)×(1002+100+1)
=199×10101=3×7×13×37×199

670033=7×13×37×199

応用

x4+5x3+6x24x16=0の実数解をすべて求めてください.

f(x)=x4+5x3+6x24x16とする.
f(10)=10000+5000+6004016=15544
15544=1562581=125292=116×134
ここで, p(x)=x2+2x4,q(x)=x2+3x+4とする.
p(10)=116,q(10)=134より, f(10)=p(10)q(10)
ここから,f(x)=p(x)q(x)を導く.[省略]

つまり, x4+5x3+6x24x16=(x2+2x4)(x2+3x+4)である.
p(x)q(x)の判別式を考えると,
p(x)D=2241(4)>0より, p(x)は異なる実数解を2つ持つ.
またその解は, x=2±2241(4)2=1±5である.
q(x)D=32414<0より, q(x)は実数解を持たない

よって, x4+5x3+6x24x16=0の実数解は2つで, その解はx=1±5である.

今回の応用問題のように, 4次式を2つの2次式の積に因数分解するときは, f(10)f(100)を試してみると良いかもしれません.

投稿日:2021312
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