素因数分解のやりかた 練習問題の答え版

$10101 = 10201-100 = 101^2-10^2 = 111\x91 = 3\x7\x13\x37$

$f(x)=x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^3$と置く.
$f(100)=1000000+30000+300+1=1030301$
$f(x)=(x+1)^3$より,

$1030301=f(100)=(100+1)^3=101^3$

$5609=5625-16=75^2-4^2=71\x79$

$9919=10000-81=100^2-9^2=91\x109=7\x13\x109$

$3913=3003+910=3\x7\x11\x13+10\x7\x13=7\x13\x(3\x11+10)=7\x13\x43$

$44733=44400+333=111\x(400+3)=3\x37\x403$
ここで,$403=484-81=22^2-9^2=13\x31$より,

$44733=3\x37\x13\x31=3\x13\x31\x37$

$f(x)=3x^2-8x-3$とする.
$f(100)=30000-800-3=29197$
$f(x)=(3x+1)(x-3)$より,

$29197=f(100)=(3\x100+1)\x(100-3)=7\x43\x97$

$1010009=1010025-16=1005^2-4^2$
$=1001\x1009=7\x11\x13\x1009 $

$3$倍して考える.
$343403\x3=1030209=1030225-16=1015^2-4^2$
$=1011\x1019=3\x337\x1019$

よって, $343403=337\x1019$

$3$倍して考える.
$670033\x3=2010099$
$f(x)=2x^3+x^2+x-1$とすると,
$f(100)=2000000+10000+100-1=2010099$
$f\left( \dfrac{1}{2} \right)=2\x\left(\dfrac{1}{2}\right)^3+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}-1=0$
より, $f(x)=(2x-1)(x^2+x+1)$とできる.

よって, $2010099=f(100)=(2\x100-1)\x(100^2+100+1)$
$=199\x10101=3\x7\x13\x37\x199$

$670033=7\x13\x37\x199$

$f(x)=x^4+5x^3+6x^2-4x-16$とする.
$f(10)=10000+5000+600-40-16=15544$
$15544=15625-81=125^2-9^2=116\x134$
ここで, $p(x)=x^2+2x-4, q(x)=x^2+3x+4$とする.
$p(10)=116,q(10)=134$より, $f(10)=p(10)q(10)$
ここから,$f(x)=p(x)q(x)$を導く.[省略]

つまり, $x^4+5x^3+6x^2-4x-16=(x^2+2x-4)(x^2+3x+4)$である.
$p(x)$と$q(x)$の判別式を考えると,
$p(x)$は$D=2^2-4\cdot1\cdot(-4)>0$より, $p(x)$は異なる実数解を$2$つ持つ.
またその解は, $x=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-4)}}{2}=-1\pm\sqrt{5}$である.
$q(x)$は$D=3^2-4\cdot1\cdot4<0$より, $q(x)$は実数解を持たない

よって, $x^4+5x^3+6x^2-4x-16=0$の実数解は$2$つで, その解は$x=-1\pm\sqrt{5}$である.