素因数分解のやりかた 練習問題の答え版

$10101=10201-100={101}^2-{10}^2=111\times 91=3\times 7\times 13\times 37$

$f(x)=x^3+3x^2+3x+1=(x+1{)}^3$と置く.
$f(100)=1000000+30000+300+1=1030301$
$f(x)=(x+1{)}^3$より,

$1030301=f(100)=(100+1{)}^3={101}^3$

$5609=5625-16={75}^2-4^2=71\times 79$

$9919=10000-81={100}^2-9^2=91\times 109=7\times 13\times 109$

$3913=3003+910=3\times 7\times 11\times 13+10\times 7\times 13=7\times 13\times (3\times 11+10)=7\times 13\times 43$

$44733=44400+333=111\times (400+3)=3\times 37\times 403$
ここで,$403=484-81={22}^2-9^2=13\times 31$より,

$44733=3\times 37\times 13\times 31=3\times 13\times 31\times 37$

$f(x)=3x^2-8x-3$とする.
$f(100)=30000-800-3=29197$
$f(x)=(3x+1)(x-3)$より,

$29197=f(100)=(3\times 100+1)\times (100-3)=7\times 43\times 97$

$1010009=1010025-16={1005}^2-4^2$
$=1001\times 1009=7\times 11\times 13\times 1009$

$3$倍して考える.
$343403\times 3=1030209=1030225-16={1015}^2-4^2$
$=1011\times 1019=3\times 337\times 1019$

よって, $343403=337\times 1019$

$3$倍して考える.
$670033\times 3=2010099$
$f(x)=2x^3+x^2+x-1$とすると,
$f(100)=2000000+10000+100-1=2010099$
$f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=2\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^3+{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}-1=0$
より, $f(x)=(2x-1)(x^2+x+1)$とできる.

よって, $2010099=f(100)=(2\times 100-1)\times ({100}^2+100+1)$
$=199\times 10101=3\times 7\times 13\times 37\times 199$

$670033=7\times 13\times 37\times 199$

$f(x)=x^4+5x^3+6x^2-4x-16$とする.
$f(10)=10000+5000+600-40-16=15544$
$15544=15625-81={125}^2-9^2=116\times 134$
ここで, $p(x)=x^2+2x-4,q(x)=x^2+3x+4$とする.
$p(10)=116,q(10)=134$より, $f(10)=p(10)q(10)$
ここから,$f(x)=p(x)q(x)$を導く.[省略]

つまり, $x^4+5x^3+6x^2-4x-16=(x^2+2x-4)(x^2+3x+4)$である.
$p(x)$と$q(x)$の判別式を考えると,
$p(x)$は$D=2^2-4\cdot 1\cdot (-4)>0$より, $p(x)$は異なる実数解を$2$つ持つ.
またその解は, $x={\displaystyle \frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot (-4)}}{2}}=-1\pm \sqrt{5}$である.
$q(x)$は$D=3^2-4\cdot 1\cdot 4<0$より, $q(x)$は実数解を持たない

よって, $x^4+5x^3+6x^2-4x-16=0$の実数解は$2$つで, その解は$x=-1\pm \sqrt{5}$である.