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素因数分解のやりかた

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数を見たときに素因数分解をしたくなると思います.
しかし, 数が大きいと難しいです.
そこで, 素因数分解をする際に使える小技を記事にしました.
紹介の前に小問を用意しているので, 良ければ解いてみてください.
問題文のすぐ下に答えがあるので, スクロールの際には気を付けてください.

一覧

1. 2乗の差と(10n+5)2

2. 有名な素因数分解

3. 因数分解を利用した素因数分解

4. 割るのではなく掛ける

本文


1. 13221を素因数分解してください.

答え:3213113

これはちょっとわかりづらいかもしれません.
各桁の和が9なので9で割ってもいいですが,割り算が面倒くさいですね.
13221=115222=113117=113(11222)=1131332
ここで使っているのは, (10n+5)2=100n(n+1)+25n2m2=(n+m)(nm)です.
1つ目は展開すればすぐわかります.  2つ目はよく知られている等式ですね.
13225=1152というのは少しわかりずらいですが, なれるとすぐわかるようになります.


2. 999999を素因数分解してください.

答え:337111337

これは簡単ですね.
999999=1061=9991001=333771113
ここで使っているのは, 111=3371001=71113です.
なにかとよく出てくる数です.

因みに, 999999=32111111として,
111111=11×10101を求めても素因数分解できます.


3. 20909を素因数分解してください.

答え:729103

これは難しいです.
f(x)=2x2+9x+9とすると, f(100)=20909である.
ところで, f(x)=2x2+9x+9=(2x+3)(x+3)なので, f(100)=203103=729103である.
関数とおいて因数分解はなかなか使う機会がないです.
特に, 大きな素数の積などの場合に(時々)使えます.
因みに, 20909+502=1532なので, そこからも計算できます.


4. 53467を素因数分解してください.

答え:127421

難しいです.
3467を見たときに, 3かけたくなる気持ちがしてきます.(感覚的ですが)
実際, 534673=160401となり,
f(x)=x4+x2+1=(x2+x+1)(x2x+1)としたときのf(20)の値を求めてもいいですし,
4012202と捉えても解けます.
最後に3で割るのを忘れないでください.

実践

これらを使って, 11個の例題を解いてみましょう.
[難易度]は, 初見で解く難易度(主観)です.

難易度2

10101を素因数分解してください.

難易度3

1030301を素因数分解してください.

難易度3

5609を素因数分解してください.

難易度4

9919を素因数分解してください.

難易度5

3913を素因数分解してください.

難易度5

44733を素因数分解してください.

難易度6

29197を素因数分解してください.

難易度7

1010009を素因数分解してください.

難易度8

343403を素因数分解してください.

難易度10

670033を素因数分解してください.

応用

x4+5x3+6x24x16=0の実数解をすべて求めてください.

解答

https://mathlog.info/articles/1934

いかがでしょうか.
ほかに何か思いついたら追加していきます.
素因数分解を楽しみましょう!

投稿日:20201113
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