素因数分解のやりかた

数を見たときに素因数分解をしたくなると思います.
しかし, 数が大きいと難しいです.
そこで, 素因数分解をする際に使える小技を記事にしました.
紹介の前に小問を用意しているので, 良ければ解いてみてください.
問題文のすぐ下に答えがあるので, スクロールの際には気を付けてください.

一覧

・$\mathbf{1}.$ $2$乗の差と$(10n+5{)}^2$

・$\mathbf{2}.$ 有名な素因数分解

・$\mathbf{3}.$ 因数分解を利用した素因数分解

・$\mathbf{4}.$ 割るのではなく掛ける

本文

答え：$3^2\cdot 13\cdot 113$

これはちょっとわかりづらいかもしれません.
各桁の和が9なので9で割ってもいいですが,割り算が面倒くさいですね.
$13221={115}^2-2^2=113\cdot 117=113({11}^2-2^2)=113\cdot 13\cdot 3^2$
ここで使っているのは, $(10n+5{)}^2=100n(n+1)+25$と$n^2-m^2=(n+m)(n-m)$です.
1つ目は展開すればすぐわかります. $$2つ目はよく知られている等式ですね.
$13225={115}^2$というのは少しわかりずらいですが, なれるとすぐわかるようになります.

答え：$3^3\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 37$

これは簡単ですね.
$999999={10}^6-1=999\cdot 1001=3^3\cdot 37\cdot 7\cdot 11\cdot 13$
ここで使っているのは, $111=3\cdot 37$と$1001=7\cdot 11\cdot 13$です.
なにかとよく出てくる数です.

因みに, $999999=3^2\cdot 111111$として,
$111111=11\times 10101$を求めても素因数分解できます.

答え：$7\cdot 29\cdot 103$

これは難しいです.
$f(x)=2x^2+9x+9$とすると, $f(100)=20909$である.
ところで, $f(x)=2x^2+9x+9=(2x+3)(x+3)$なので, $f(100)=203\cdot 103=7\cdot 29\cdot 103$である.
関数とおいて因数分解はなかなか使う機会がないです.
特に, 大きな素数の積などの場合に(時々)使えます.
因みに, $20909+{50}^2={153}^2$なので, そこからも計算できます.

答え：$127\cdot 421$

難しいです.
$34$や$67$を見たときに, $3$かけたくなる気持ちがしてきます.(感覚的ですが)
実際, $53467\cdot 3=160401$となり,
$f(x)=x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1)$としたときの$f(20)$の値を求めてもいいですし,
${401}^2-{20}^2$と捉えても解けます.
最後に$3$で割るのを忘れないでください.

実践

これらを使って, $11$個の例題を解いてみましょう.
[難易度]は, 初見で解く難易度(主観)です.

解答

https://mathlog.info/articles/1934

いかがでしょうか.
ほかに何か思いついたら追加していきます.
素因数分解を楽しみましょう！