素因数分解のやりかた

数を見たときに素因数分解をしたくなると思います.
しかし, 数が大きいと難しいです.
そこで, 素因数分解をする際に使える小技を記事にしました.
紹介の前に小問を用意しているので, 良ければ解いてみてください.
問題文のすぐ下に答えがあるので, スクロールの際には気を付けてください.

一覧

・$\Num{1}.$ $2$乗の差と$(10n+5)^2$

・$\Num{2}.$ 有名な素因数分解

・$\Num{3}.$ 因数分解を利用した素因数分解

・$\Num{4}.$ 割るのではなく掛ける

本文

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答え：$3^2\cdot13\cdot113$

これはちょっとわかりづらいかもしれません.
各桁の和が9なので9で割ってもいいですが,割り算が面倒くさいですね.
$13221=115^2-2^2=113\cdot117=113(11^2-2^2)=113\cdot13\cdot3^2$
ここで使っているのは, $(10n+5)^2=100n(n+1)+25$と$n^2-m^2=(n+m)(n-m)$です.
1つ目は展開すればすぐわかります. $\ $2つ目はよく知られている等式ですね.
$13225=115^2$というのは少しわかりずらいですが, なれるとすぐわかるようになります.

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答え：$3^3\cdot7\cdot11\cdot13\cdot37$

これは簡単ですね.
$999999=10^6-1=999\cdot1001=3^3\cdot37\cdot7\cdot11\cdot13$
ここで使っているのは, $111=3\cdot37$と$1001=7\cdot11\cdot13$です.
なにかとよく出てくる数です.

因みに, $999999=3^2\cdot111111$として,
$111111=11×10101$を求めても素因数分解できます.

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答え：$7\cdot29\cdot103$

これは難しいです.
$f(x)=2x^2+9x+9$とすると, $f(100)=20909$である.
ところで, $f(x)=2x^2+9x+9=(2x+3)(x+3)$なので, $f(100)=203\cdot103=7\cdot29\cdot103$である.
関数とおいて因数分解はなかなか使う機会がないです.
特に, 大きな素数の積などの場合に(時々)使えます.
因みに, $20909+50^2=153^2$なので, そこからも計算できます.

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答え：$127\cdot421$

難しいです.
$34$や$67$を見たときに, $3$かけたくなる気持ちがしてきます.(感覚的ですが)
実際, $53467\cdot3=160401$となり,
$f(x)=x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1)$としたときの$f(20)$の値を求めてもいいですし,
$401^2-20^2$と捉えても解けます.
最後に$3$で割るのを忘れないでください.

実践

これらを使って, $11$個の例題を解いてみましょう.
[難易度]は, 初見で解く難易度(主観)です.

解答

https://mathlog.info/articles/1934

いかがでしょうか.
ほかに何か思いついたら追加していきます.
素因数分解を楽しみましょう！