フレネル積分の証明

フレネル積分とは、以下の積分を指します。(${\displaystyle S(x)={\int }_0^x\sin t^{2}dt}$のことを指すこともありますが、この記事では$S(\mathrm{\infty })$をフレネル積分と呼んでいます)

${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\sin x^{2}dx=\sqrt{\frac{\pi }{8}}}$

(証明)
${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\sin x^{2}dx=I}$とおきます。
${\displaystyle I=\frac{1}{2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin x}{\sqrt{x}}dx}$

ここで、ガウス積分( https://mathlog.info/articles/89 ) より

$$\begin{gathered} {\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{-xy}}{\sqrt{y}}dy={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{-y}}{\sqrt{\frac{y}{x}}}\frac{dy}{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{-y}}{\sqrt{y}}dy} \\ {\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{x}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{-y^2}}{\sqrt{y^2}}2ydy=\frac{2}{\sqrt{x}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-y^2}dy} \\ {\displaystyle =\sqrt{\frac{\pi }{x}}} \end{gathered}$$

となるので、

$$\begin{gathered} {\displaystyle I=\frac{1}{2\sqrt{\pi }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\sin x{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{-xy}}{\sqrt{y}}dydx} \\ {\displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{\pi }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{y}(y^2+1)}dy} \\ {\displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{\pi }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{y^2}(y^4+1)}2ydy} \\ {\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{y^4+1}dy} \\ {\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{8\pi }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}(\frac{y+\sqrt{2}}{y^2+\sqrt{2}y+1}-\frac{y-\sqrt{2}}{y^2-\sqrt{2}y+1})dy} \\ {\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{8\pi }}{[\frac{1}{2}\log \frac{y^2+\sqrt{2}y+1}{y^2-\sqrt{2}y+1}+{\tan }^{-1}(\sqrt{2}y+1)+{\tan }^{-1}(\sqrt{2}y-1)]}_0^{\mathrm{\infty }}} \\ {\displaystyle =\frac{\pi }{\sqrt{8\pi }}=\sqrt{\frac{\pi }{8}}} \end{gathered}$$

証明できました。