フレネル積分の証明

フレネル積分とは、以下の積分を指します。($\displaystyle S(x)=\int_0^x\sin t^2dt$のことを指すこともありますが、この記事では$S(\infty)$をフレネル積分と呼んでいます)

$\displaystyle\int_0^\infty\sin x^2dx=\sqrt{\frac{\pi}{8}}$

(証明)
$\displaystyle\int_0^\infty\sin x^2dx=I$とおきます。
$\displaystyle I=\frac{1}{2}\int_0^\infty\frac{\sin x}{\sqrt{x}}dx$

ここで、ガウス積分( https://mathlog.info/articles/89 ) より

$\displaystyle\int_0^\infty\frac{e^{-xy}}{\sqrt{y}}dy =\int_0^\infty\frac{e^{-y}}{\sqrt{\frac{y}{x}}}\frac{dy}{x} =\frac{1}{\sqrt{x}}\int_0^\infty\frac{e^{-y}}{\sqrt{y}}dy \\\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{x}}\int_0^\infty\frac{e^{-y^2}}{\sqrt{y^2}}2ydy=\frac{2}{\sqrt{x}}\int_0^\infty e^{-y^2}dy \\\displaystyle=\sqrt{\frac{\pi}{x}}$

となるので、

$\displaystyle I=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}\int_0^\infty\sin x\int_0^\infty\frac{e^{-xy}}{\sqrt{y}}dydx \\\displaystyle=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}\int_0^\infty\frac{1}{\sqrt{y}(y^2+1)}dy \\\displaystyle=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}\int_0^\infty\frac{1}{\sqrt{y^2}(y^4+1)}2ydy \\\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_0^\infty\frac{1}{y^4+1}dy \\\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{8\pi}}\int_0^\infty\left(\frac{y+\sqrt{2}}{y^2+\sqrt{2}y+1}-\frac{y-\sqrt{2}}{y^2-\sqrt{2}y+1}\right)dy \\\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{8\pi}}\left[\frac{1}{2}\log\frac{y^2+\sqrt{2}y+1}{y^2-\sqrt{2}y+1}+\tan^{-1}(\sqrt{2}y+1)+\tan^{-1}(\sqrt{2}y-1)\right]_0^\infty \\\displaystyle=\frac{\pi}{\sqrt{8\pi}}=\sqrt\frac{\pi}{8}$

証明できました。