特殊な漸化式の問題(解答を公開しました)

$$\sum _{k=0}^n\frac{a_k}{(n-k)!}=2^n$$
によって定められる数列$\{a_k{\}}_{k=0,1,2,\dots }$について
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{2^n}$$
を求めよ。
また、一般項を求めよ。

$$\begin{gathered} B_0=1 \\ {B}_k=-\frac{1}{k+1}\sum _{j=0}^{k-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+1}{j})B_j(n>0) \end{gathered}$$
で数列$\{B_k{\}}_{k=0,1,2,\dots }$(ベルヌーイ数)を定める。

ベルヌーイ数の指数型漸化式
$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_k}{k!}{x}^k$$
を求めよ

$$\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n+1}{2k+1})a_k=1$$
で数列$\{a_k{\}}_{k=0,1,2,\dots }$を定める。

この数列を用いて$\tan x$をマクローリン展開せよ。