特殊な漸化式の問題(解答を公開しました)

$$ \sum_{k=0}^n\frac{a_k}{(n-k)!}=2^n $$
によって定められる数列$\{a_k\}_{k=0,1,2,\ldots}$について
$$ \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{2^n} $$
を求めよ。
また、一般項を求めよ。

$$ B_0=1\\ B_k=-\frac{1}{k+1}\sum_{j=0}^{k-1}\binom{k+1}{j}B_j\ (n>0) $$
で数列$\{B_k\}_{k=0,1,2,\ldots}$(ベルヌーイ数)を定める。

ベルヌーイ数の指数型漸化式
$$ \sum_{k=0}^\infty\frac{B_k}{k!}x^k $$
を求めよ

$$ \sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{2n+1}{2k+1}a_k=1 $$
で数列$\{a_k\}_{k=0,1,2,\ldots}$を定める。

この数列を用いて$\tan x$をマクローリン展開せよ。