4

特殊な漸化式の問題(解答を公開しました)

76
0
$$$$

最近、漸化式にハマって、自作問題を3つ作ったので、是非挑戦してみてください。

解答は こちら

$$ \sum_{k=0}^n\frac{a_k}{(n-k)!}=2^n $$
によって定められる数列$\{a_k\}_{k=0,1,2,\ldots}$について
$$ \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{2^n} $$
を求めよ。
また、一般項を求めよ。

$$ B_0=1\\ B_k=-\frac{1}{k+1}\sum_{j=0}^{k-1}\binom{k+1}{j}B_j\ (n>0) $$
で数列$\{B_k\}_{k=0,1,2,\ldots}$(ベルヌーイ数)を定める。

ベルヌーイ数の指数型漸化式
$$ \sum_{k=0}^\infty\frac{B_k}{k!}x^k $$
を求めよ

$$ \sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{2n+1}{2k+1}a_k=1 $$
で数列$\{a_k\}_{k=0,1,2,\ldots}$を定める。

この数列を用いて$\tan x$をマクローリン展開せよ。

ヒント
今回、この問題を作るに至った補題です。

$$ \sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}=c_n $$
3つの数列が上を満たしている。
このとき、それぞれの母関数
$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n,\ g(x)=\sum_{n=0}^\infty b_nx^n,\ h(x)=\sum_{n=0}^\infty c_nx^n$
について次が成り立つ。
$$ f(x)g(x)=h(x) $$
投稿日:2021319

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

投稿者

wai572
wai572
20
8124

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中