特殊な漸化式の問題の解説

この記事は解答編です。
まだ問題を解いていない人は先に 問題 を解いてください。

　
解答
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問題1の解説

まず、答えは
$$\begin{gathered} \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{2^n}=e^{-1/2} \\ {a}_n=\sum _{k=0}^n\frac{2^{n-k}(-1{)}^k}{k!} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} f(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^k \\ g(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}{x}^k \\ h(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^k{x}^k \end{gathered}$$
とすると、
補題と仮定より
$f(x)g(x)=h(x)$が成り立つ。

$g(x)=e^x$より、
$$f(x)=h(x)e^{-x}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^k{x}^k\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}(-x{)}^k$$
である。

$x^n$の係数を比べれば、
$$a_n=\sum _{k=0}^n\frac{2^{n-k}(-1{)}^k}{k!}$$
と分かる。

$$\begin{array}{rl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{2^n}& =\sum _{k=0}^n\frac{2^{-k}(-1{)}^k}{k!}\\ & =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{(-\frac{1}{2})}^k\frac{1}{k!}\\ & =e^{-1/2}\end{array}$$

きちんと証明はできていませんが、おそらく以下が成り立ちます。
$$a_n=\frac{(-1{)}^{n+1}}{n!}[(-1{)}^{n+1}{2}^{n}n!e^{-1/2}]$$

問題2の解説

答えは
$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_k}{k!}=\frac{x}{e^x-1}$$

漸化式を変形を変形する。(ただし$k$の範囲に注意)
$k>0$のとき
$$\begin{array}{rl}{B}_k& =-\frac{1}{k+1}\sum _{j=0}^{k-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+1}{j})B_j\\ \frac{1}{k+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+1}{k})B_k& =-\frac{1}{k+1}\sum _{j=0}^{k-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+1}{j})B_j\\ \frac{1}{k+1}\sum _{j=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+1}{j})B_j& =0\\ \frac{1}{k+1}\sum _{j=0}^k\frac{(k+1)!}{j!(k-j+1)!}{B}_j& =0\\ \sum _{j=0}^k\frac{1}{j!(k-j+1)!}{B}_j& =0\end{array}$$
$k=0$のときは$(LHS)=1$だから、
左辺を$B_j/j!$と$(k-j+1)!$の積、右辺を0項目が$1$,他の項は$0$という数列と見て補題を適用すれば、
$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_k}{k!}{x}^k\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(k+1)!}{x}^k=1$$

$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(k+1)!}=\frac{e^x-1}{x}$$
だから、
$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_k}{k!}=\frac{x}{e^x-1}$$

問題3の解説

答えは
$$\tan x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}$$

$$\begin{array}{rl}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n+1}{2k+1})a_k& =1\\ \sum _{k=0}^n(-1{)}^k\frac{(2n+1)!}{(2k+1)!(2n-2k)!}{a}_k& =1\\ \sum _{k=0}^n(-1{)}^{n+k}\frac{1}{(2k+1)!(2n-2k)!}{a}_k& =\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}\\ \sum _{k=0}^n\frac{a_k}{(2k+1)!}\frac{(-1{)}^{n-k}}{(2n-2k)!}& =\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}\end{array}$$
補題を適用すれば、
$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{(2n+1)!}{x}^n\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^n$$
$x$に$x^2$を代入し、さらに両辺に$x$をかけることで、
$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}$$
$$\begin{gathered} \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}=\cos x \\ \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}=\sin x \end{gathered}$$
であるので、
$$\tan x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}$$