特殊な漸化式の問題の解説
この記事は解答編です。
まだ問題を解いていない人は先に
問題
を解いてください。
$$
\sum_{k=0}^n\frac{a_k}{(n-k)!}=2^n
$$
によって定められる数列$\{a_k\}_{k=0,1,2,\ldots}$について
$$
\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{2^n}
$$
を求めよ。
また、一般項を求めよ。
$$
B_0=1\\
B_k=-\frac{1}{k+1}\sum_{j=0}^{k-1}\binom{k+1}{j}B_j\ (k>0)
$$
で数列$\{B_k\}_{k=0,1,2,\ldots}$(ベルヌーイ数)を定める。
ベルヌーイ数の指数型漸化式
$$
\sum_{k=0}^\infty\frac{B_k}{k!}x^k
$$
を求めよ
$$
\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{2n+1}{2k+1}a_k=1
$$
で数列$\{a_k\}_{k=0,1,2,\ldots}$を定める。
この数列を用いて$\tan x$をマクローリン展開せよ。
解答
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$$
\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}=c_n
$$
3つの数列が上を満たしている。
このとき、それぞれの母関数
$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n,\ g(x)=\sum_{n=0}^\infty b_nx^n,\ h(x)=\sum_{n=0}^\infty c_nx^n$
について次が成り立つ。
$$
f(x)g(x)=h(x)
$$
$f(x)g(x)$の$x^n$の係数を考えれば、
$\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}$であり、仮定より$\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}=c_n$。
よって、題意は明らかに成り立つ。
問題1の解説
まず、答えは
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{2^n}=e^{-1/2}\\
a_n=\sum_{k=0}^n \frac{2^{n-k}(-1)^k}{k!}
$$
$$
f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_kx^k\\
g(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}x^k\\
h(x)=\sum_{k=0}^\infty 2^kx^k
$$
とすると、
補題と仮定より
$f(x)g(x)=h(x)$が成り立つ。
$g(x)=e^x$より、
$$
f(x)=h(x)e^{-x}=\sum_{k=0}^\infty 2^kx^k\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}(-x)^k
$$
である。
$x^n$の係数を比べれば、
$$
a_n=\sum_{k=0}^n \frac{2^{n-k}(-1)^k}{k!}
$$
と分かる。
$$ \begin{align} \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{2^n} &=\sum_{k=0}^n \frac{2^{-k}(-1)^k}{k!}\\ &=\sum_{k=0}^\infty \left(-\frac{1}{2}\right)^k\frac{1}{k!}\\ &=e^{-1/2} \end{align} $$
きちんと証明はできていませんが、おそらく以下が成り立ちます。
$$
a_n=\frac{(-1)^{n+1}}{n!}\left[(-1)^{n+1}2^nn!e^{-1/2}\right]
$$
問題2の解説
答えは
$$
\sum_{k=0}^\infty\frac{B_k}{k!}=\frac{x}{e^x-1}
$$
漸化式を変形を変形する。(ただし$k$の範囲に注意)
$k>0$のとき
$$
\begin{align}
B_k&=-\frac{1}{k+1}\sum_{j=0}^{k-1}\binom{k+1}{j}B_j\\
\frac{1}{k+1}\binom{k+1}{k}B_k&=-\frac{1}{k+1}\sum_{j=0}^{k-1}\binom{k+1}{j}B_j\\
\frac{1}{k+1}\sum_{j=0}^{k}\binom{k+1}{j}B_j&=0\\
\frac{1}{k+1}\sum_{j=0}^{k}\frac{(k+1)!}{j!(k-j+1)!}B_j&=0\\
\sum_{j=0}^{k}\frac{1}{j!(k-j+1)!}B_j&=0
\end{align}
$$
$k=0$のときは$(LHS)=1$だから、
左辺を$B_j/j!$と$(k-j+1)!$の積、右辺を0項目が$1$,他の項は$0$という数列と見て補題を適用すれば、
$$
\sum_{k=0}^\infty\frac{B_k}{k!}x^k\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{(k+1)!}x^k=1
$$
$$
\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{(k+1)!}=\frac{e^x-1}{x}
$$
だから、
$$
\sum_{k=0}^\infty\frac{B_k}{k!}=\frac{x}{e^x-1}
$$
問題3の解説
答えは
$$
\tan x = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{(2n+1)!}x^{2n+1}
$$
$$
\begin{align}
\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{2n+1}{2k+1}a_k&=1\\
\sum_{k=0}^n(-1)^k\frac{(2n+1)!}{(2k+1)!(2n-2k)!}a_k&=1\\
\sum_{k=0}^n(-1)^{n+k}\frac{1}{(2k+1)!(2n-2k)!}a_k&=\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\\
\sum_{k=0}^n\frac{a_k}{(2k+1)!}\frac{(-1)^{n-k}}{(2n-2k)!}&=\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}
\end{align}
$$
補題を適用すれば、
$$
\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{(2n+1)!}x^n\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^n=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^n
$$
$x$に$x^2$を代入し、さらに両辺に$x$をかけることで、
$$
\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{(2n+1)!}x^{2n+1}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}
$$
$$
\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n}=\cos x\\
\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}=\sin x
$$
であるので、
$$
\tan x = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{(2n+1)!}x^{2n+1}
$$