あるU(sl(2;C))の非可換変形とその表現　続々

序

あるU(sl(2;C))の非可換変形とその表現　続 の続きです。
証明はあとで追記します。(3/20)

$U(\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C}){)}_J$の諸性質

次数付き環

$U(\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C}){)}_J$のすべての関係式は斉次のため、生成元,$E,F,H,J$を次数$1$の元としたとき、
$U(\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C}){)}_J$は次数付き環となる。

$\mathbb{C}$上有限次元加群の性質

$\mathbb{C}$上有限次元加群上の$JH$,$JE$,$JF$のトレースは$0$

生成元の定数倍のなす自己同型変換

$$e,f,h,j$$を$0$でない定数で
$ef=jh$
$j=h$
としたとき、$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}E⟶eE\\ F⟶fF\\ H⟶hH\\ J⟶jJ\end{array}\end{array}$$
は自己同型変換となる。

カシミール元の類似のなす両側イデアル

$\{{\mathrm{\Delta }}^{n}u|u\in U(\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C}){)}_J\}$
は両側イデアルになる。

交換関係、反交換関係の確認

$$[x,y]=xy-yx$$
$$\{x,y\}=xy+yx$$
とする。

更に関係式を入れたたときになりたつ式

環$U(\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C}){)}_{J,0}$

環$U(\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C}){)}_{J,0}$を
$U(\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C}){)}_J$の関係式の他に
$$[H,J]=0$$を満たす環とする。
この環上で
$$[H,FE]=[H,EF]=[J,EF]=[J,FE]=0$$が成り立つ。

環$U(\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C}){)}_{J,1}$

環$U(\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C}){)}_{J,1}$を
$U(\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C}){)}_J$の関係式の他に

$$[H,J]=[J,E]=[J,F]=0$$
を満たす環とする。
この環上で
$$\begin{gathered} [H,1]=0=0J1 \\ [H,u]=2mJu⟹ \\ [H,Eu]=[H,E]u+E[H,u]=\{J,E\}u+EmJu=2(m+1)JEu \\ [H,Fu]=[H,F]u+F[H,u]=-\{J,F\}u+FmJu=2(m-1)JFu \\ [H,Hu]=H[H,u]=2mJHu \\ [H,Ju]=J[H,u]=2m{J}^{2}u \end{gathered}$$
$v$を$U(\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C}){)}_{J,1}$加群の元とする。
$$Hv=2cJv⟹Huv=2(m+c)Juv$$

環$U(\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C}){)}_{J,2}$

環$U(\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C}){)}_{J,2}$を
$U(\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C}){)}_J$の関係式の他に
$$[H,J]=\{J,E\}=\{J,F\}=0$$
を満たす環とする。
この環上で
$$\begin{gathered} J1=1J \\ Ju=\delta uJ⟹ \\ JEu=-EJu=-\delta EuJ \\ JFu=-FJu=-\delta FuJ \\ JHu=HJu=\delta HuJ \\ {J}^{2}u=\delta JuJ \end{gathered}$$

$\delta$ の値は$1$か$-1$

$v$を$U(\mathit{s}{\mathit{l}}_2(\mathbb{C}){)}_{J,2}$加群の元とする。
$$Jv=dv⟹Juv=\delta uJv=\delta duv$$