あるU(sl(2;C))の非可換変形とその表現　続々

序

あるU(sl(2;C))の非可換変形とその表現　続 の続きです。
証明はあとで追記します。(3/20)

$U(\boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C}))_J$の諸性質

次数付き環

$U(\boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C}))_J$のすべての関係式は斉次のため、生成元,$E,F,H,J$を次数$1$の元としたとき、
$U(\boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C}))_J$は次数付き環となる。

$\mathbb{C}$上有限次元加群の性質

$\mathbb{C}$上有限次元加群上の$JH$,$JE$,$JF$のトレースは$0$

生成元の定数倍のなす自己同型変換

$$e,f,h,j$$を$0$でない定数で
$ef=jh$
$j=h$
としたとき、$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} E \longrightarrow eE\\ F \longrightarrow fF\\ H \longrightarrow hH\\ J \longrightarrow jJ \end{array} \right. \end{eqnarray} $$
は自己同型変換となる。

カシミール元の類似のなす両側イデアル

$ \lbrace \Delta ^nu |\ \ \ u \in U(\boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C}))_J \rbrace $
は両側イデアルになる。

交換関係、反交換関係の確認

$$\lbrack x,y \rbrack=xy-yx$$
$$ \lbrace x,y \rbrace =xy+yx$$
とする。

更に関係式を入れたたときになりたつ式

環$U(\boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C}))_{J,0}$

環$U(\boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C}))_{J,0}$を
$U(\boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C}))_{J}$の関係式の他に
$$ \lbrack H,J \rbrack =0 $$を満たす環とする。
この環上で
$$\lbrack H,FE \rbrack =\lbrack H,EF \rbrack=\lbrack J,EF \rbrack=\lbrack J,FE \rbrack=0 $$が成り立つ。

環$U(\boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C}))_{J,1}$

環$U(\boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C}))_{J,1}$を
$U(\boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C}))_{J}$の関係式の他に

$$ \lbrack H,J \rbrack = \lbrack J,E \rbrack= \lbrack J,F \rbrack=0$$
を満たす環とする。
この環上で
$$ \lbrack H,1 \rbrack=0=0J1 \\ \lbrack H,u \rbrack =2mJu \Longrightarrow \\ \lbrack H,Eu \rbrack = \lbrack H,E \rbrack u+E \lbrack H,u \rbrack = \lbrace J,E \rbrace u+EmJu=2(m+1)JEu\\ \lbrack H,Fu \rbrack = \lbrack H,F \rbrack u+F \lbrack H,u \rbrack = -\lbrace J,F \rbrace u+FmJu=2(m-1)JFu\\ \lbrack H,Hu \rbrack =H\lbrack H,u \rbrack =2mJHu\\ \lbrack H,Ju \rbrack =J\lbrack H,u \rbrack =2mJ^2u $$
$v$を$U(\boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C}))_{J,1}$加群の元とする。
$$Hv=2cJv \Longrightarrow Huv=2(m+c)Juv$$

環$U(\boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C}))_{J,2}$

環$U(\boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C}))_{J,2}$を
$U(\boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C}))_{J}$の関係式の他に
$$ \lbrack H,J \rbrack = \lbrace J,E \rbrace= \lbrace J,F \rbrace=0 $$
を満たす環とする。
この環上で
$$J1=1J\\ Ju =\delta uJ\Longrightarrow\\ JEu=-EJu=-\delta EuJ\\ JFu=-FJu=-\delta FuJ\\ JHu=HJu=\delta HuJ\\ J^2u=\delta JuJ$$

$\delta$ の値は$1$か$-1$

$v$を$U(\boldsymbol{sl}_2( \mathbb{C}))_{J,2}$加群の元とする。
$$Jv=dv \Longrightarrow Juv=\delta uJv=\delta d uv$$