【スピン幾何】擬直交群O(s,t)

スピノルの基本事項

　スピン幾何に必須のClifford代数を導入するために必要な擬直交群$O(s,t)$の基本事項をまとめます。

　擬Euclid空間${\mathbb{E}}^{(s,t)}$とは${\mathbb{R}}^{s+t}$とその上の非退化で指数が$(s,t)$型の対称形式$\eta$によって定義される計量ベクトル空間$({\mathbb{R}}^{s+t},\eta )$のことです。正規直交基底$\{e_1,\cdots ,e_s,e_{s+1},\cdots ,e_{s+t}\}$で
$$\begin{array}{rl}& \eta (e_i,e_j)=-{\delta }_{ij},(i,j=1,\cdots ,s)\\ & \eta (e_i,e_j)={\delta }_{ij},(i,j=s+1,\cdots ,s+t)\end{array}$$
となるものが取れます。

　擬直交群$O(s,t)$とは${\mathbb{E}}^{(s,t)}$の等長変換群が成す群です。

とくに$O(1,t)$または$O(s,1)$のことをLorentz群と呼びます。$\eta$の表現行列も$\eta$で表すと$A\in O(s,t)$は${}^{t}A\eta A=\eta$を満たすので$\det \left(A\right)=\pm 1$となります。また自然な同型$O(s,t)\simeq O(t,s)$が存在します。

　よく知られた命題として次があります。

　正規直交基底$\{e_1,\cdots ,e_s,e_{s+1},\cdots ,e_{s+t}\}$を取り、$V^{-}:={\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}}_{\mathbb{R}}\{e_1,\cdots ,e_s\}$とします。$A\in O(s,t)$に対して、$A{|}_{V^{-}}:V^{-}\to V^{-}$が向きを保つとき、$A$は時間的向きを保つといいます。この性質は$V^{-}$の取り方によらないことが証明できます。$O(s,t)$の部分群について次の定義があります。

　また$S{O}^{+}(s,t)$は$O(s,t)$の単位元を含む連結成分です。さらに$s,t\ge 1$のとき、$S{O}^{+}(s,t)\simeq SO(s)\times SO(t)\times {\mathbb{R}}^{st}$となります。例えば、4次元Minkowski時空の物理で重要となるのが$S{O}^{+}(1,3)\simeq S{O}^{+}(3,1)\simeq SO(3)\times {\mathbb{R}}^3$です。$S{O}^{+}(1,3)$の基本群は${\mathbb{Z}}_2$です。