【スピン幾何】擬直交群O(s,t)
スピン幾何に必須のClifford代数を導入するために必要な擬直交群$O(s,t)$の基本事項をまとめます。
擬Euclid空間$\mathbb{E}^{(s,t)}$とは$\mathbb{R}^{s+t}$とその上の非退化で指数が$(s,t)$型の対称形式$\eta$によって定義される計量ベクトル空間$(\mathbb{R}^{s+t},\eta)$のことです。正規直交基底$\{e_1,\cdots,e_s,e_{s+1},\cdots,e_{s+t}\}$で
\begin{align}
&\eta(e_i,e_j)=-\delta_{ij},\ (i,j=1,\cdots,s)\\
&\eta(e_i,e_j)=\delta_{ij},\ (i,j=s+1,\cdots,s+t)\\
\end{align}
となるものが取れます。
擬直交群$O(s,t)$とは$\mathbb{E}^{(s,t)}$の等長変換群が成す群です。
\begin{align} O(s,t):=\{A\in GL(\mathbb{R},s+t);\ \eta(Av,Aw)=\eta(v,w),\ v,w\in\mathbb{E}^{(s,t)}\} \end{align}
とくに$O(1,t)$または$O(s,1)$のことをLorentz群と呼びます。$\eta$の表現行列も$\eta$で表すと$A\in O(s,t)$は${}^tA\eta A=\eta$を満たすので$\det(A)=\pm1$となります。また自然な同型$O(s,t)\simeq O(t,s)$が存在します。
よく知られた命題として次があります。
- $O(s,t)$は線形Lie群である。
- $st\ne0$ならば$O(s,t)$はnon-compactである。
- $\mathfrak{o}(s,t)\otimes\mathbb{C}\simeq\mathfrak{o}(s+t)\otimes\mathbb{C}$
正規直交基底$\{e_1,\cdots,e_s,e_{s+1},\cdots,e_{s+t}\}$を取り、$V^-:={\rm Span}_\mathbb{R}\{e_1,\cdots,e_s\}$とします。$A\in O(s,t)$に対して、$A|_{V^-}:V^-\to V^-$が向きを保つとき、$A$は時間的向きを保つといいます。この性質は$V^-$の取り方によらないことが証明できます。$O(s,t)$の部分群について次の定義があります。
$SO(s,t):=\{A\in O(s,t);\ \det(A)=1\}$を特殊(special)擬直交群、$O^+(s,t):=\{A\in O(s,t);\ Aは時間的向きを保つ\}$を順時(orthochronous)擬直交群、$SO^+(s,t):=O^+(s,t)\cap SO(s,t)$を固有順時(theproper orthochronous)擬直交群という。
また$A\in O(s,t)$を
$$
A=\begin{pmatrix}A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\end{pmatrix}
$$
と表示するとき、
$O^+(s,t)=\{A\in O(s,t);\ \det(A_{11})>0\},\ SO^+(s,t)=\{A\in O(s,t);\ \det(A)=1,\ \det(A_{11})>0\}$と定義しても同値である。
また$SO^+(s,t)$は$O(s,t)$の単位元を含む連結成分です。さらに$s,t\geq1$のとき、$SO^+(s,t)\simeq SO(s)\times SO(t)\times \mathbb{R}^{st}$となります。例えば、4次元Minkowski時空の物理で重要となるのが$SO^+(1,3)\simeq SO^+(3,1)\simeq SO(3)\times\mathbb{R}^3$です。$SO^+(1,3)$の基本群は$\mathbb{Z}_2$です。