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【第一回】N次元球面上の掛け算構造

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キーワード

Lie群,Lie代数,de Rhamコホモロジー,de Rhamの定理,特異ホモロジー

0. イントロダクション

$1$ 次元球面 $S^{1} \subset R^{2} ≃ C$ は,以下のように表すことができる.
$S^{1} = {e^{\sqrt{- 1} θ} | θ \in R}$
この $S^{1}$ 上には,以下のようにして自然に掛け算の構造が入る( $θ$ の取り方によらずwell-defined)
$e^{\sqrt{- 1} θ_{1}} \times e^{\sqrt{- 1} θ_{2}} = e^{\sqrt{- 1} (θ_{1} + θ_{2})}$
この演算は,群の公理を満たしているため, $S^{1}$ には滑らかな群構造を定義することができるといえる.

一方, $3$ 次元球面 $S^{3} \subset R^{4}$ にも群構造を定義することができる.
$R^{4}$ は四元数を定義することができるが,四元数 $p, q$ に対し, $∥ p ∥ ∥ q ∥ = ∥ p q ∥$ が成り立つことから,この掛け算は,自然に $3$ 次元球面上の滑らかな群演算を誘導することがわかる.

以上の内容を命題の形でまとめると以下のように言える.

$1$ 次元球面 $S^{1}$ ,および, $3$ 次元球面 $S^{3}$ は,Lie群構造を定めることができる.

では,より一般に正の整数 $N に対して, N$ 次元球面上にLie群構造を定めることができるだろうか.
実は,この問題に関して以下の定理が成り立つことが知られている.

$N$ を正の整数とする. $N$ 次元球面 $S^{N}$ にLie群構造を定めることができる $N$ の条件は, $N = 1, 3$ である.

本記事では,2回に分けてLie群上のコホモロジー論を展開することにより,上記の定理の証明を目標とする.

本記事は[1]のChapter5,§12の議論をベースに,独自に再構成したものである.

【第一回】→本記事
【第二回】→ https://mathlog.info/articles/Ce9j4mlC3uJo4c3Ew5me

1. Lie群が作用する多様体のde Rhamコホモロジー

Lie群 $G$ が,滑らかな多様体 $M$ に左作用しているとする.すなわち,滑らかな写像 $G \times M \to M : (g, x) \mapsto t_{g} (x)$ であって, $t_{g} \circ t_{h} = t_{g h}$ かつ, $t_{e} = i d_{G}$ が成り立つものが存在するとする.このとき,任意の $g \in G$ に対し, $t_{g}$ は滑らかな逆写像 $t_{- g}$ を持つので, $t_{g}$ は微分同相写像である.

滑らかな多様体 $M$ 上の $p$ -form全体を $Ω^{p} (M)$ とあらわす.また, $ω \in Ω^{p} (M)$ が,任意の $g \in G$ に対し, $t_{g}^{*} ω = ω$ を満たすとき, $ω$ は(左)作用に関して不変であるという.不変な $p$ -form全体は $R$ ベクトル空間の構造を持っており,これを $Ω_{G}^{p} (M)$ と書くことにする.

$ω \in Ω_{G}^{p} (M)$ に対し, $t_{g}^{*} (d ω) = d (t_{g}^{*} ω) = d ω$ が成り立つことから, $d ω$ もまた,不変 $p$ -formであり,普通の外微分 $d$ に関して, $(Ω_{G}^{*} (M), d)$ はチェイン複体を定めることができる.このチェイン複体に関する, $p$ 次のコホモロジーを $H_{G}^{p} (M)$ と表す.

実は $G$ がコンパクトかつ連結である場合は, $H_{G}^{p} (M)$ は,通常のde Rhamコホモロジーと同型であることがわかる.すなわち,以下の定理が成り立つ.

$G$ をコンパクト連結Lie群とし, $G$ が滑らかな多様体 $M$ に滑らかに左作用しているとする.このとき, $R$ ベクトル空間の同型
$H_{G}^{p} (M) ≃ H_{d R}^{p} (M)$
が成り立つ.

この定理が示されれば, $M$ のde Rhamコホモロジーの議論は,左作用に関して不変なformのみを考えれば十分であることがわかる.
このセクションでは,上の定理の証明を試みる.

写像の構成

$G$ をコンパクトLie群とする(今は連結でなくてもよい). $ω_{G}$ を $G$ 上のHaar体積形式であり, $\int_{G} ω_{G} = 1$ を満たすものとする. $M$ 上の滑らかな実関数 $f : M \to R$ に対し, $G$ 上の積分を,
$\int_{G} f d g = \int_{G} f ω_{G}$
と表すことにする.

ベクトル空間の準同型 $I : Ω^{p} (M) \to Ω_{G}^{p} (M)$ を,以下で定める( $X_{i}$ は $M$ 上の滑らかなベクトル場).
$I (ω) (X_{1}, . . ., X_{p}) = \int_{G} t_{g}^{*} ω (X_{1}, . . ., X_{p}) d g$
ここで, $I$ の像が不変 $p$ 形式であることは以下のようにして確かめられる.
$\begin{array}{rcl} t_{h}^{*} (I (ω)) (X_{1}, . . ., X_{p}) & = & I (ω) ((t_{h})_{*} X_{1}, . . ., (t_{h})_{*} X_{p}) \\ = & \int_{G} ω ((t_{g})_{*} (t_{h})_{*} X_{1}, . . ., (t_{g})_{*} (t_{h})_{*} X_{p}) d g \\ = & \int_{G} ω ((t_{g h})_{*} X_{1}, . . ., ((t_{g h})_{*} X_{p}) d g \\ = & \int_{G} ω ((t_{g})_{*} X_{1}, . . ., ((t_{g})_{*} X_{p}) d g \\ = & I (ω) (X_{1}, . . ., X_{p}) \end{array}$
ここで4番目の等号は,Haar積分の不変性を使用している.
$I$ に関して,以下の主張が成り立つ.

$I : Ω^{p} (M) \to Ω_{G}^{p} (M)$ は外微分と可換である.すなわち $d I = I d$ .

滑らかなベクトル場 $X \in X (M)$ に対し, $X^{g} = (t_{g})_{*} X$ とおく.
外微分の定義に基づいて,
$\begin{array}{rcl} d (I (ω)) (X_{1}, . . ., X_{p}) & = & \sum_{i = 0}^{p} (- 1)^{i} X_{i} (I (ω) (X_{0}, . . ., \hat{X_{i}}, . . ., X_{p})) + \sum_{i < j} (- 1)^{(i + j)} I (ω) ([X_{i}, X_{j}], X_{0}, . . ., \hat{X_{i}}, . . ., \hat{X_{j}}, . . ., X_{p}) \\ = & \sum_{i = 0}^{p} (- 1)^{i} X_{i} \int_{G} ω (X_{0}^{g}, . . ., \hat{X_{i}}, . . ., X_{p}^{g}) d g + \sum_{i < j} (- 1)^{(i + j)} \int_{G} ω ([X_{i}^{g}, X_{j}^{g}], X_{0}^{g}, . . ., \hat{X_{i}^{g}}, . . ., \hat{X_{j}^{g}}, . . ., X_{p}^{g}) d g \\ = & \int_{G} d ω (X_{0}^{g}, . . ., X_{p}^{g}) d g \\ = & I (d ω) (X_{1}, . . ., X_{p}) \end{array}$
ここで,2番目の等号において,ベクトル場の基本性質 $F_{*} ([X, Y]) = [F_{*} X, F_{*} Y]$ ( $F : M \to M$ は微分同相)を使用していることに注意する. $◻$

上記の命題により,準同型 $I : Ω^{p} (M) \to Ω_{G}^{p} (M)$ は自然にコホモロジーの準同型 $I^{*} : H_{d R}^{p} (M) \to H_{G}^{p} (M)$ を誘導する.

一方で,包含写像 $J : Ω_{G}^{p} (M) \to Ω^{p} (M)$ も自然にコホモロジーの準同型 $J^{*} = H_{G}^{p} (M) \to H_{d R}^{p} (M)$ を定めることができる.

de Rhamコホモロジー $H_{d R}^{p} (M)$ には, $[ω] \mapsto [t_{g}^{*} ω]$ により,自然に群の左作用を定義することができる.任意の $g \in G$ の $H_{d R}^{p} (M)$ への左作用に対して不動点となる $H_{d R}^{p} (M)$ の部分空間を $H_{d R}^{p} (M)^{G}$ とおく. $J^{*}$ の像は, $Ω_{G}^{p} (M)$ の定義より, $H_{d R}^{p} (M)^{G}$ に含まれるため,包含写像 $J^{*}$ の値域を書き換えて, $J^{*} = H_{G}^{p} (M) \to H_{d R}^{p} (M)^{G}$ とすることができる.さらに, $I^{*}$ の定義域を $H_{d R}^{p} (M)^{G}$ に制限して,改めて, $I^{*} : H_{d R}^{p} (M)^{G} \to H_{G}^{p} (M)$ と定める.

以上で定義した準同型 $I^{*} : H_{d R}^{p} (M)^{G} \to H_{G}^{p} (M)$ と, $J^{*} = H_{G}^{p} (M) \to H_{d R}^{p} (M)^{G}$ は互いに逆写像になっていることを示せば, $I^{*}, J^{*}$ は同型写像となる.

コホモロジー同型の証明

コンパクトLie群 $G$ が,滑らかな多様体 $M$ に滑らかに左作用しているとする.このとき, $I^{*} \circ J^{*} = i d, J^{*} \circ I^{*} = i d$ が成り立ち,以下の同型が成り立つ.
$H_{G}^{p} (M) ≃ H_{d R}^{p} (M)^{G}$

$ω \in Ω_{G} (M)$ に対し,
$\begin{array}{rcl} I (ω) (X_{1}, . . ., X_{p}) & = & \int_{G} (t_{g}^{*} ω) (X_{1}, . . ., X_{p}) d g \\ = & \int_{G} ω (X_{1}, . . ., X_{p}) d g \\ = & ω (X_{1}, . . ., X_{p}) \end{array}$
であるから, $I \circ J = i d$ が成り立つ.よって, $I^{*} \circ J^{*} = i d$ .
続いて, $J^{*} \circ I^{*} = i d$ を示す.任意に $α = [ω] \in H_{d R}^{p} (M)^{G}$ をとると, $J^{*} \circ I^{*} (α) = [I (ω)]$ なので, $[ω] と [I (ω)]$ が, $H_{d R}^{p} (M)$ の元として等しいことを示せばよい. $ω \in H_{d R}^{p} (M)^{G}$ なので,任意の $g \in G$ に対し, $t_{g}^{*} ω - ω = d η$ なる $η \in Ω^{p - 1} (M)$ が存在する.

ところで,任意の滑らかな $p$ 単体 $σ : Δ_{p} \to M$ を任意にとり, $σ$ 上の $ω$ の積分を,
$\int_{σ} ω = \int_{Δ_{p}} σ^{*} ω$
で定義する(ただし $p = 0$ の場合は, $Δ_{0}$ は1点集合 ${e_{0}}$ なので, $\int_{σ} ω = ω (σ (e_{0}))$ とおく).すると特異 $p$ チェイン $c$ は, $p$ 単体の単純な線形和として表記されるから, $\int_{c} ω$ が定義される.

滑らかな特異ホモロジー $[c] \in H_{p} (M)$ をとると,Stokesの定理より,
$\int_{c} ω - \int_{c} t_{g}^{*} ω = \int_{c} d η = \int_{\partial c} η = 0$
ここで,最後の等式は, $c$ が特異ホモロジーの代表元であることから従う.
よって,
$\begin{array}{rcl} \int_{c} I (ω) & = & \int_{c} (\int_{G} t_{g}^{*} ω d g) \\ = & \int_{G} (\int_{c} t_{g}^{*} ω) d g \\ = & \int_{G} (\int_{c} ω) d g \\ = & (\int_{c} ω) (\int_{G} 1) = \int_{c} ω \end{array}$
つまり, $\int_{c} (I (ω) - ω) = 0$ .ところで,de Rhamの定理より, $H_{d R}^{p} (M) ≃ Hom (H_{p} (M), R)$ が成り立ち,その同型写像は,
$[ω] \mapsto ([c] \mapsto \int_{c} ω)$ で表示される([2]が参考になる).先の計算で,任意の $[c] \in H_{p} (M)$ に対し, $\int_{c} (I (ω) - ω) = 0$ が成り立つことから, $H_{d R}^{p} (M)$ の元として, $[ω] = [I (ω)]$ $◻$

実は, $G$ が連結の場合は, $H_{d R}^{p} (M)^{G} = H_{d R}^{p} (M)$ である.つまり $G$ がコンパクト連結Lie群の場合は, $H_{G}^{p} (M) ≃ H_{d R}^{p} (M)$ が成り立ち,定理3が証明される.

$G$ が連結の場合は, $H_{d R}^{p} (M)^{G} = H_{d R}^{p} (M)$

まず,任意の $g \in G$ に対し, $t_{g}$ と $i d_{M}$ はホモトピックであることを示す.
$G$ は連結(とくに $G$ は多様体なので弧状連結)なので,ある連続曲線 $c : [0, 1] \to G$ であって, $c (0) = e, c (1) = g$ を満たすものが存在する.ここで, $H : [0, 1] \times M \to M$ を $H (s, x) = t_{c (s)} (x)$ で定義すると,これは $t_{g}$ と $i d_{M}$ を結ぶホモトピーになる(実は,Whitneyの定理より,滑らかなホモトピーとみなすことができる.[2]が参考になる).よって, $t_{g}^{*} = i d_{M}^{*} = i d$ .よって,任意の $[ω] \in H_{d R}^{p} (M)$ は $G$ の左作用に関して不動点になるので, $H_{d R}^{p} (M)^{G} = H_{d R}^{p} (M)$ が成り立つ. $◻$

ここまでの議論において, $M を G$ 自身とし, $G$ または, $G$ の直積Lie群 $G \times G$ による,以下の左作用を考える.

左移動 $L_{g} : G \to G | L_{g} (h) = g h$
右移動 $R_{g} : G \to G | R_{g} (h) = h g^{- 1}$
共役 $C_{g} : G \to G | C_{g} (h) = g h g^{- 1}$
両側移動 $B_{(g_{1}, g_{2})} : G \to G | B_{(g_{1}, g_{2})} (h) = g_{1} h g_{2}^{- 1}$
またそれぞれの左作用に関して定まるコホモロジー $H_{G}^{p} (G)$ または $H_{G \times G}^{p} (G)$ を,それぞれ $H_{L}^{p} (G), H_{R}^{p} (G), H_{C}^{p} (G), H_{B}^{p} (G)$ とおく.

定理3

$G$ をコンパクト連結Lie群とする.このとき,以下のコホモロジーの同型対応がとれる.
$H_{d R}^{p} (G) ≃ H_{L}^{p} (G) ≃ H_{R}^{p} (G) ≃ H_{C}^{p} (G) ≃ H_{B}^{p} (G)$

2. Lie代数とコホモロジー

前回のセクションでは,コンパクト連結Lie群 $G$ のde Rhamコホモロジーは,左移動や共役などに関して不変な微分形式からなるコホモロジーと同型であることが示された.次のセクションでは,さらにde Rhamコホモロジーが,Lie代数上で定まるコホモロジーと同型であることを示す.

Lie代数上の交代形式のコホモロジー

$G$ をLie群とし, $G$ 上に定まるLie代数を $g$ とおく.また, $g$ 上の $p$ 次交代形式全体を $\overset{p}{⋀} g^{*}$ とおく.
さらに, $d_{g} : \overset{p}{⋀} g^{*} \to \overset{p + 1}{⋀} g^{*}$ を以下のように定める.
$d_{g} ω (X_{1}, . . ., X_{p}) = \sum_{i < j} (- 1)^{(i + j)} ω ([X_{i}, X_{j}], X_{0}, . . ., \hat{X_{i}}, . . ., \hat{X_{j}}, . . ., X_{p})$

Lie群の一般論より, $G$ 上の左不変 $p$ -form全体を $Ω_{L}^{p} (G)$ とおくと, $R$ ベクトル空間の同型写像 $F_{p} : Ω_{L}^{p} (G) \to \overset{p}{⋀} g^{*}$ が存在し,左不変ベクトル場 $X_{1}, . . ., X_{p}$ に対し, $ω (X_{1}, . . ., X_{p}) = F (ω) ((X_{1})_{e}, . . ., (X_{p})_{e})$ が成り立つ(左辺は実は定数になる).[3]参照.

$d \circ F_{p}^{- 1} = F_{p + 1}^{- 1} \circ d_{g}$

$ω \in \overset{p}{⋀} g^{*}$ と,左不変ベクトル場 $X_{0}, . . ., X_{p}$ に対し,
$\begin{array}{rcl} (d \circ F_{p}^{- 1} ω) (X_{0}, . . ., X_{p}) & = & \sum_{i = 0}^{p} (- 1)^{i} X_{i} ((F_{p}^{- 1} (ω)) (X_{0}, . . ., \hat{X_{i}}, . . ., X_{p})) + \sum_{i < j} (- 1)^{(i + j)} F_{p}^{- 1} (ω) ([X_{i}, X_{j}], X_{0}, . . ., \hat{X_{i}}, . . ., \hat{X_{j}}, . . ., X_{p}) \\ = & \sum_{i < j} (- 1)^{(i + j)} F_{p}^{- 1} (ω) ([X_{i}, X_{j}], X_{0}, . . ., \hat{X_{i}}, . . ., \hat{X_{j}}, . . ., X_{p}) \\ = & \sum_{i < j} (- 1)^{(i + j)} ω_{e} ([(X_{i})_{e}, (X_{j})_{e}], (X_{0})_{e}, . . ., (\hat{X_{i}})_{e}, . . ., (\hat{X_{j}})_{e}, . . ., (X_{p})_{e}) \end{array}$
ここで,2個目の等号については, $F_{p}^{- 1} (ω) (X_{0}, . . ., \hat{X_{i}}, . . ., X_{p})$ が定数であることからわかる.一方 $d_{g}$ の定義より,
$\begin{array}{rcl} (F_{p + 1} \circ d_{g} ω) (X_{0}, . . ., X_{p}) & = & \sum_{i < j} (- 1)^{(i + j)} ω_{e} ([(X_{i})_{e}, (X_{j})_{e}], (X_{0})_{e}, . . ., (\hat{X_{i}})_{e}, . . ., (\hat{X_{j}})_{e}, . . ., (X_{p})_{e}) \end{array}$
よって,左不変ベクトル場 $X_{0}, . . ., X_{p}$ に対し,( $d (F_{p}^{- 1} (ω))) (X_{0}, . . ., X_{p}) = (F_{p + 1}^{- 1} (d_{g} ω)) (X_{0}, . . ., X_{p})$
ところで,任意のベクトル場は,各点で線形独立な左不変ベクトル場 $X_{0}, . . ., X_{p}$ ( $g$ の基底を適当にとり,各基底に対し左不変ベクトル場を生成すればよい)の $C^{\infty} (M)$ 線形結合で書けるから,任意の滑らかなベクトル場 $X_{0}, . . ., X_{p}$ に対し,( $d (F_{p}^{- 1} (ω))) (X_{0}, . . ., X_{p}) = (F_{p + 1}^{- 1} (d_{g} ω)) (X_{0}, . . ., X_{p})$
ここまでの内容で, $d \circ F_{p}^{- 1} = F_{p + 1}^{- 1} \circ d_{g}$ が示された. $◻$

$d_{g} \circ d_{g} = 0$

$d_{g} \circ d_{g} = (F_{p + 2} \circ d \circ F_{p + 1}^{- 1}) \circ (F_{p + 1} \circ d \circ F_{p}^{- 1}) = F_{p + 2} \circ d \circ d \circ F_{p}^{- 1} = 0$ $◻$

上の補題により $(\overset{*}{⋀} (g^{*}), d_{g})$ はチェイン複体となり,コホモロジー $H^{p} (g)$ を定めることができる.さらに補題7より,コホモロジーの同型写像 $H_{L}^{p} (G) \to H^{p} (g^{*})$ を $[ω] \mapsto [F_{p} (ω)]$ により定めることができる.よって,次の同型が成り立つ.

コンパクト連結Lie群 $G$ と, $G$ 上のLie代数 $g$ に対し,
$H_{d R}^{p} (G) ≃ H^{p} (g^{*})$

共役不変な交代形式のコホモロジー

前項では,左移動に関して不変な微分形式がなすコホモロジー $H_{L}^{p} (G)$ は,Lie代数上の交代形式がなすコホモロジー $H^{p} (g^{*})$ と同型であることが確かめられた.この項では,両側移動に関して不変な微分形式がなすコホモロジー $H_{B}^{p} (G)$ と同型なLie代数上に定まるコホモロジーを考える.「両側移動に関して不変」という条件は,より「左移動に関して不変」という条件より厳しいことから, $H^{p} (g^{*})$ より"小さい"範囲でコホモロジーが定義できることが期待される.

$G$ をLie群とする. $ω$ を $G$ 上の $p$ 次微分形式としたとき, $ω$ が両側不変な微分形式であることは, $ω$ が左不変かつ,共役不変な微分形式であることの必要十分条件である.

$ω$ を両側不変な微分形式とすると, $L_{g}^{*} ω = B_{(g, e)}^{*} ω = ω$ ,かつ, $C_{g}^{*} ω = B_{(g, g)}^{*} ω = ω$ である.逆に, $ω$ を左不変かつ共役不変な微分形式とすると, $B_{(g, h)}^{*} ω = C_{h}^{*} L_{g h^{- 1}}^{*} ω = ω$ . $◻$

$g$ 上の $p$ 次交代形式のうち, $G$ の随伴表現 $A d : G \to G L (g)$ に関して不変なもの全体の集合を $Ω_{A d}^{p} (g^{*})$ とおく.ここで「 $G$ の随伴表現 $A d : G \to G L (g)$ に関して不変」とは, $g \in G$ と, $g$ 上の $p$ 次の交代形式 $ω$ に対し,
$g (ω) (X_{1}, . . ., X_{p}) = ω (A d (g^{- 1}) X_{1}, . . ., A d (g^{- 1}) X_{p})$
として $g (ω)$ を定めたとき,任意の $g \in G$ に対し, $g (ω) = ω$ を満たすことである.

$R$ ベクトル空間の同型, $Ω_{B}^{p} (G) ≃ Ω_{A d}^{p} (g^{*})$ が成り立つ.ここで, $Ω_{B}^{p} (G)$ はLie群 $G$ 上の両側不変 $p$ 次微分形式全体を表す.

Lie群の一般論より, $G$ 上の左不変 $p$ -form全体を $Ω_{L}^{p} (G)$ とおくと, $R$ ベクトル空間の同型写像 $F_{p} : Ω_{L}^{p} (G) \to \overset{p}{⋀} g^{*}$ が存在するのであった.この $F_{p}$ の $Ω_{B}^{p} (G)$ への制限を考えたとき, $F_{p} |_{Ω_{B}^{p} (G)}$ は単射なので,これが $Ω_{A d}^{p} (g)$ への全射であることが示されれば,補題が示される.まず, $F_{p} Ω_{B}^{p} (G) \subset Ω_{A d}^{p} (g^{*})$ を示す. $ω \in Ω_{B}^{p} (G)$ に対し, $f_{ω} = F_{p} (ω)$ とおくと, $g \in G$ と, $X_{1}, . . ., X_{p} \in g$ に対し,
$\begin{array}{rcl} g (f_{ω}) (X_{1}, . . ., X_{p}) & = & f_{ω} (A d (g^{- 1}) X_{1}, . . ., A d (g^{- 1}) X_{p}) \\ = & ω_{e} (C_{g^{- 1} *} X_{1}, . . ., C_{g^{- 1} *} X_{p}) \\ = & (C_{g}^{*} ω)_{e} (C_{g^{- 1} *} X_{1}, . . ., C_{g^{- 1} *} X_{p}) \\ = & ω_{e} (X_{1}, . . ., X_{p}) \\ = & f_{ω} (X_{1}, . . ., X_{p}) \end{array}$
つまり, $f_{ω} \in Ω_{A d}^{p} (g^{*})$ となる.逆に $ω^{'}$ に対し, $ω = F_{p}^{- 1} (ω^{'})$ とおくと,上記の式から任意の $g \in G$ と, $X_{1}, . . ., X_{p} \in g$ に対し, $ω_{e} (X_{1}, . . ., X_{p}) = (C_{g}^{*} ω)_{e} (X_{1}, . . ., X_{p})$ .よって,任意の滑らかなベクトル場は左不変ベクトル場の $C^{\infty} (G)$ 係数の線形結合で書けるので, $ω = C_{g}^{*} (ω)$ .つまり $F_{p} (Ω_{B}^{p} (G)) \subset Ω_{A d}^{p} (g^{*})$ で $F_{p} |_{Ω_{B}^{p} (G)}$ は全射になる. $◻$

$Ω_{A d}^{p} (g^{*})$ もまた,Lie代数の外微分作用素 $d_{g}$ により,チェインを形成するため,コホモロジー $H_{A d}^{p} (g^{*})$ が定義でき,以下のコホモロジーの同型が成り立つ.

コンパクト連結Lie群 $G$ と,その上のLie代数 $g$ に対し,以下のコホモロジーの同型が成り立つ.
$H_{d R}^{p} (G) ≃ H_{B}^{p} (G) ≃ H_{A d}^{p} (g^{*})$

次回予告

今回の記事では,コンパクト連結Lie群,およびその上のLie代数のコホモロジーについて考察を行い,
最終的に $G$ 上のde Rhamコホモロジーは,Lie代数 $g$ の共役不変な交代形式がなすコホモロジーと同型であることを示した.

ところが,実はLie代数 $g$ 上の共役不変な交代形式は,すべて( $d_{g}$ に関して)閉形式であることが知られている.よって,コンパクトLie群のコホモロジーは, $Ω_{A d}^{p} (g^{*})$ の次元を調べる問題に帰着し,コホモロジー論を簡単な問題に変換できる.

次回の記事では,Lie代数 $g$ 上の共役不変な交代形式が閉形式であることを示したのち, $Ω_{A d}^{p} (g^{*})$ の性質を調べる.また,ある条件の下では, $g$ 上に,Cartan's 3-formと呼ばれる特別な0でない交代形式が存在することを示し,球面のde Rhamコホモロジーと比較することにより, $1, 3$ 次元でない球面上にはLie群構造が存在しないことを証明する.