【第二回】N次元球面上の掛け算構造

$(1) \Longrightarrow (2)$
あらかじめ$V$の基底を適当にとっておいて,$\mathbb{R}^k$として考える.
$X \in \mathfrak{g}$に対し,$\theta(\exp (tX)) : \mathbb{R} \to GL(V)$は,$GL(V)の$1-parameter部分群なので,何らかの$k$次の行列$A$を用いて,$\theta(\exp (tX)) = e^{tA}$と書け,$\theta_{*}(X) = A$となる.([2]のProp20.2参照).
仮定より,任意の$g \in G$に対し,$(\theta(g))v = v$であったから,
\begin{eqnarray} Av = (\theta_{*}(X))v = \left. \frac{d}{dt} \right|_{t = 0} (\theta (\exp(tX)))v = \left. \frac{d}{dt} \right|_{t = 0} \theta(v) = 0 \end{eqnarray}
よって,$\theta_{*}(X)v = Av = 0$.
$(2) \Longrightarrow (1)$
すでに示したように,$\theta(\exp (tX)) = e^{tA}$と書ける.このとき,
$$e^{tA} v = v + tAv + \frac{1}{2} t^2 A^2 v + ...$$
であったから,$e^{tA} v = v$.つまり,$(\theta(\exp(tX)))v = v$.
ところで連結Lie群においては,$e \in G$近傍で$G$全体を生成する.よって,任意の$g \in G$に対し,$\theta(g)v = v$.

補題1における$V$を$\bigotimes^{p} (\mathfrak{g}^{*})$とし,$G$の$\bigotimes^{p} (\mathfrak{g}^{*})$への左作用を
$$((\theta(g)) \omega)(X_1, ... , X_p) = \omega(Ad(g^{-1})X_1, ... ,Ad(g^{-1})X_p)$$で定める.
$B_{t} = Ad(\exp(tY))$とおくと,
\begin{eqnarray} ((-\theta_{*}(Y))(\omega))(X_1, ... ,X_p) &=& \left. \frac{d}{dt} \left( \theta( \exp(-tY)) \omega (X_1, ... , X_p) \right) \right|_{t=0} \\ &=& \left. \frac{d}{dt} ( \omega (B_{t} X_{1}, ... , B_{t} X_{p})) \right|_{t=0} \\ &=& \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} (\omega (B_{t} X_{1}, ... , B_{t} X_{p}) - \omega ( X_{1}, ... , X_{p})) \\ &=& \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} (\omega (B_{t} X_{1} - X_{1}, B_{t} X_{2} ... , B_{t} X_{p}) \\ &+& \omega (X_{1}, B_{t}X_{2} - X_{2} ... , B_{t} X_{p}) + \omega(X_1, X_2 ..., B_{t}X_{p} - X_{p})) \\ \end{eqnarray}
ここで,
$$\lim_{t \to 0} B_{t}X_{i} = B_{0}X_{i} = X_{i}$$
かつ,
$$\left. \frac{d}{dt} B_{t} X_{i} \right|_{t=0} = \left. \frac{d}{dt} (Ad(\exp(tY))) X_{i} \right|_{t=0} = ad \left( \left. \frac{d}{dt} \exp(tY) \right|_{t=0} \right) X_{i} = ad(Y)X = [Y,X]$$
なので,
$$((-\theta_{*}(Y))(\omega))(X_1, ... ,X_p) = \sum_{i=1}^{p} \omega(X_1, ... , [Y, X_i], ..., X_p)$$
ここで補題1より$\omega$が共役不変であることは,この式の(任意の$Y, ...,X_{1}, ... ,X_{p} \in \mathfrak{g}$に対し)左辺が$0$であることと同値のため,命題が示された.

$\varepsilon_{i,j}$を$i=j$のとき$0$,$i< j$のとき,$(-1)^{j}$,$i>j$のとき,$(-1)^{j+1}$で定める.
\begin{eqnarray} d_{\mathfrak{g}} \omega (X_0, ..., X_p) &=& \frac{1}{2} \sum_{i \neq j} (-1)^{i} \varepsilon_{i,j} \omega([X_{i},X_{j}], X_{0}, ... , \hat{X_{i}}, ... ,\hat{X_{j}, ... ,X_{p}}) \\ &=& \frac{1}{2} \sum_{i} (-1)^{i} \sum_{j} \varepsilon_{i,j} \omega([X_{i}, X_{j}], X_{0}, , ... , \hat{X_{i}}, ... , \hat{X_{j}}, ... , X_{p}) \\ &=& \frac{1}{2} \sum_{i} (-1)^{i+1} \sum_{j} \omega(X_{0}, ... ,[X_{i}, X_{j}], ... , \hat{X_{i}}, ..., X_{p}) \end{eqnarray}
ここで,最後の式は定理2より$0$になるので,$\omega$は閉形式. $\square$

$\Omega_{Ad}^{1}(\mathfrak{g}^{*})$の特徴づけより,$\mathfrak{g}$上の$1$次交代形式$\omega$が,$\omega \in \Omega_{Ad}^{1}(\mathfrak{g}^{*})$を満たす必要十分条件は,任意の$X,Y \in \mathfrak{g}$に対し$\omega([X,Y]) = 0$であること.つまり,$[\mathfrak{g}, \mathfrak{g}]$の零化空間(anihilator)は,$\Omega_{Ad}^{1}(\mathfrak{g}^{*})$と一致する.よって,$\dim H_{dR}^{1} (G) = N - \dim [\mathfrak{g}, \mathfrak{g}]$.

まず,$G$が可換であると仮定したとき,$\mathfrak{g}$が可換であることを示す.写像$I : G \to G | g \mapsto g^{-1}$は$G$の可換性より,Lie群の準同型なので,$I_{*}$はLie代数の準同型.また,$I(\exp (tX)) = \exp(-tX)$なので,$I_{*}(X) = -X$.よって,
$$-[X,Y] = I_{*}([X,Y]) = [I_{*}X, I_{*}Y] = [-X, -Y] = [X,Y]$$
つまり,$[X,Y] = 0$.
次に$\mathfrak{g}$が可換であると仮定して,$G$が可換であることを示す.[3]の§9より,$\exp(sX) \exp(tY) = \exp(tY) \exp(sX)$.ところで,連結Lie群においては,$G$の任意の元は,単位元付近(つまり,$\exp(sX)$の形で書ける)の元で生成されるから,$G$は可換.
最後に$\dim H_{dR}^{1}(G) = N$ならば,命題5より$[\mathfrak{g}, \mathfrak{g}] = 0$なので,$\mathfrak{g}$は可換.逆も然り.$\square$

$\omega \in \Omega_{Ad}^{2}(\mathfrak{g}^{*})$をとる.$\omega$は閉形式であったから,
\begin{eqnarray} 0 = d_{\mathfrak{g}} \omega (X, Y, Z) &=& -\omega ([X,Y], Z) + \omega ([X,Z], Y) - \omega ([Y,Z], X) \\ &=& -\omega ([X,Y], Z) - ( \omega ([Z,X], Y) + \omega (X, [Z,Y])) \\ &=& -\omega ([X,Y], Z) \end{eqnarray}
ここで,最後の等号は,$\omega$が共役不変であることから従う.
$H_{dR}^{1} (G)= 0$より,$[\mathfrak{g}, \mathfrak{g}] = \mathfrak{g}$だから,上の計算により,任意の$X,Y \in \mathfrak{g}$に対し,$\omega(X,Y) = 0$であるとわかったので,$\omega = 0$.よって,$H_{dR}^{2} (G)= 0$.

$\eta$を$\mathfrak{g}$上の$0$でない共役不変な対称形式とする(このような対称形式の存在は後で示す).ここで,$\omega(X,Y,Z) = \eta([X,Y],Z)$により,$3$重線形形式$\omega$を定める.$\omega$が共役不変かつ,非自明な交代形式であることを示せば,$H_{dR}^{3} (G) \neq 0$が示される.$\omega$が共役不変であることは,$\eta$の共役不変性からわかる.$H_{dR}^{1} (G)= 0$より,$[\mathfrak{g}, \mathfrak{g}] = \mathfrak{g}$なので,$\eta$の非自明性より$\eta([X,Y],Z) \neq 0$となるような$X,Y,Z \in \mathfrak{g}$が存在.よって$\omega$は非自明.交代性については,$\eta$の共役不変性に注意して,以下のように示される($X$と$Y$の交代性は自明).
$$\eta([Z,Y],X) = -\eta([Y,Z], X) = \eta(Z, [Y,X]) = \eta([Y,X], Z) = -\eta([X,Y],Z)$$
$$\eta([X,Z],Y) = -\eta(Z, [X,Y]) = -\eta([X,Y], Z)$$
最後に,$\mathfrak{g}$上の$0$でない共役不変な交代形式は,以下のように定める.
$$\eta(X,Y) = \int_{G} \langle Ad(g)(X) , Ad(g)(Y) \rangle dg$$
ここで$\langle , \rangle$は$\mathfrak{g}$上の適当な正定値内積とする.$\eta$の共役不変性は,Haar体積形式の不変性よりわかる.$\square$

$S^N$はコンパクト連結である.$S^N$がLie群であると仮定する.
$S^N$のde Rhamコホモロジーは,
\begin{equation} H_{dR}^{p} (G) = \left\{ \, \begin{aligned} & \mathbb{R} \ (p=0,N)\\ & 0 \ (p \neq 0,N)\\ \end{aligned} \right. \end{equation}
$N \neq 1$ならば,$H_{dR}^{1}(G) = 0$なので,$H_{dR}^{3}(G) \neq 0$.よって$N=3$.$\square$

(1)$T^{N}$の1次de Rhamコホモロジーは,$H_{dR}^{1}(T^{N}) = \mathbb{R}^{N}$.仮に$T^{N}$が非可換Lie群構造を持つならば,$[\mathfrak{g}, \mathfrak{g}] \neq 0$なので,$\dim H_{dR}^{1}(T^{N}) < N$となり矛盾.
(2)$M_{g}$の1次de Rhamコホモロジーは,$H_{dR}^{1}(M_{g}) = \mathbb{R}^{2g}$.仮に$M_{g}$がLie群構造を持つならば,$\dim H_{dR}^{1}(M_{g}) \le 2$となり矛盾.$\square$