誤差関数の漸近展開
誤差関数$\mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\pi}\int_0^xe^{-t^2}dt$
相補誤差関数$\mathrm{erfc}(x)=1-\mathrm{erf}(x)$
正規相補誤差関数(scaled complementary error function)
$\mathrm{erfcx}(x)=e^{x^2}\mathrm{erfc}(x) $
漸近展開は超幾何級数を用いて
$\mathrm{erfcx}(x)=ｔ\frac1{x\sqrt{\pi}}~_2F_0(1,\frac12;;-\frac1{x^2})$
となる。よって次が成り立つ。
\begin{align}
e^{-\frac14\p^2}\cdot \frac1x=&\frac1{x}~_2F_0(1,\frac12;;-\frac1{x^2})\\
=&\sqrt{\pi}\mathrm{erfcx}(x)\\
=&\sqrt{\pi}e^{x^2}(1-\mathrm{erf}(x))
\end{align}
Q-functionといのもある。
$Q(x)=\frac12\mathrm{erfc}(x/\sqrt 2)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}e^{-\p^2/2}\cdot\frac1x=\frac1{\sqrt{2\pi}}\t+([0,i;i,1])\cdot \frac1x$
次の$SL(2,\mathbb C)$の式が成立する。ただし$A=1+2a^2\sigma^2 $
\begin{align}
\left(
\begin{array}{cc}
A & 0 \\
0 & A^{-1}
\end{array}
\right)
=
\left(
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
-\sigma^2i & 1
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 2ia^2 \\
0 & 1
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
i/(2a^2) & 1
\end{array}
\right)
\right)^{-1}
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 2ia^2/A \\
0 & 1
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
iA/(2a^2) & 1
\end{array}
\right)
\end{align}
LCT
を用いる次が定義式から成立する。
\begin{align}
\frac1x=\sqrt A \t +\left(
\begin{array}{cc}
A & 0 \\
0 & 1/A
\end{array}
\right)\cdot \frac1x
\end{align}
準同型性から
\begin{align}
\t+
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
-\sigma^2i & 1
\end{array}
\right)
\t+
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 2ia^2 \\
0 & 1
\end{array}
\right)
\t+
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
i/(2a^2) & 1
\end{array}
\right)\cdot \frac1x=
\sqrt A\t +
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 2ia^2/A \\
0 & 1
\end{array}
\right)
\t+
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
iA/(2a^2) & 1
\end{array}
\right)\cdot \frac1x
\end{align}
微分演算子表示から
$$e^{\frac{\sigma^2}2\p^2}e^{-a^2x^2}e^{-\frac{1}{4a^2}\p^2}\cdot\frac1x=\sqrt Ae^{-\frac{a^2}Ax^2}e^{-\frac{A}{4a^2}\p^2}\cdot \frac1x$$
$$e^{\frac{\sigma^2}2\p^2}\cdot \left(1-e^{-a^2x^2}e^{-\frac{1}{4a^2}\p^2}\cdot\frac1{ax}\right)=1-e^{-\frac{a^2}Ax^2}e^{-\frac{A}{4a^2}\p^2}\cdot \frac{\sqrt A}{ax}$$
$$e^{\frac{\sigma^2}2\p^2}\cdot \mathrm{erf}(ax)=\mathrm{erf}(ax/\sqrt A)$$
$$e^{\frac{\sigma^2}2\p^2}\cdot \mathrm{erf}(ax+b)=\mathrm{erf}((ax+b)/\sqrt A)$$
Weierstrass変換の積分表示から
$$\frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\int_{-\infty}^\infty \mathrm{erf}(ax+b)\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)dx=\mathrm{erf}\left(\frac{a\mu+b}{\sqrt{1+2a^2\sigma^2}}\right)$$
を得る。