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誤差関数の漸近展開

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$$\newcommand{aa}[0]{\alpha} \newcommand{ad}[0]{\mathrm{ad}} \newcommand{bb}[0]{\beta} \newcommand{dd}[0]{\delta} \newcommand{DD}[0]{\Delta} \newcommand{ee}[0]{\epsilon} \newcommand{g}[0]{\mathfrak g} \newcommand{GG}[0]{\Gamma} \newcommand{gg}[0]{\gamma} \newcommand{hb}[0]{\hbar} \newcommand{K}[0]{\mathbb K} \newcommand{kk}[0]{\kappa} \newcommand{ll}[0]{\lambda} \newcommand{LL}[0]{\Lambda} \newcommand{oo}[0]{\omega} \newcommand{OO}[0]{\Omega} \newcommand{p}[0]{\partial} \newcommand{q}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{sgn}[0]{\mathrm{sgn}} \newcommand{SS}[0]{\sigma} \newcommand{t}[1]{\mathcal{T}_{#1}} \newcommand{tt}[0]{\theta} \newcommand{TT}[0]{\Theta} \newcommand{uu}[0]{\upsilon} \newcommand{V}[0]{\mathbb V} \newcommand{ve}[0]{\varepsilon} \newcommand{vp}[0]{\varphi} \newcommand{vt}[0]{\vartheta} $$

誤差関数$\mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\pi}\int_0^xe^{-t^2}dt$
相補誤差関数$\mathrm{erfc}(x)=1-\mathrm{erf}(x)$
正規相補誤差関数(scaled complementary error function)
$\mathrm{erfcx}(x)=e^{x^2}\mathrm{erfc}(x) $
漸近展開は超幾何級数を用いて
$\mathrm{erfcx}(x)=t\frac1{x\sqrt{\pi}}~_2F_0(1,\frac12;;-\frac1{x^2})$
となる。よって次が成り立つ。
\begin{align} e^{-\frac14\p^2}\cdot \frac1x=&\frac1{x}~_2F_0(1,\frac12;;-\frac1{x^2})\\ =&\sqrt{\pi}\mathrm{erfcx}(x)\\ =&\sqrt{\pi}e^{x^2}(1-\mathrm{erf}(x)) \end{align}
Q-functionといのもある。
$Q(x)=\frac12\mathrm{erfc}(x/\sqrt 2)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}e^{-\p^2/2}\cdot\frac1x=\frac1{\sqrt{2\pi}}\t+([0,i;i,1])\cdot \frac1x$

次の$SL(2,\mathbb C)$の式が成立する。ただし$A=1+2a^2\sigma^2 $
\begin{align} \left( \begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & A^{-1} \end{array} \right) = \left( \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -\sigma^2i & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 2ia^2 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ i/(2a^2) & 1 \end{array} \right) \right)^{-1} \left( \begin{array}{cc} 1 & 2ia^2/A \\ 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ iA/(2a^2) & 1 \end{array} \right) \end{align}
LCT を用いる次が定義式から成立する。

\begin{align} \frac1x=\sqrt A \t +\left( \begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & 1/A \end{array} \right)\cdot \frac1x \end{align}
準同型性から
\begin{align} \t+ \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -\sigma^2i & 1 \end{array} \right) \t+ \left( \begin{array}{cc} 1 & 2ia^2 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \t+ \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ i/(2a^2) & 1 \end{array} \right)\cdot \frac1x= \sqrt A\t + \left( \begin{array}{cc} 1 & 2ia^2/A \\ 0 & 1 \end{array} \right) \t+ \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ iA/(2a^2) & 1 \end{array} \right)\cdot \frac1x \end{align}
微分演算子表示から
$$e^{\frac{\sigma^2}2\p^2}e^{-a^2x^2}e^{-\frac{1}{4a^2}\p^2}\cdot\frac1x=\sqrt Ae^{-\frac{a^2}Ax^2}e^{-\frac{A}{4a^2}\p^2}\cdot \frac1x$$

$$e^{\frac{\sigma^2}2\p^2}\cdot \left(1-e^{-a^2x^2}e^{-\frac{1}{4a^2}\p^2}\cdot\frac1{ax}\right)=1-e^{-\frac{a^2}Ax^2}e^{-\frac{A}{4a^2}\p^2}\cdot \frac{\sqrt A}{ax}$$
$$e^{\frac{\sigma^2}2\p^2}\cdot \mathrm{erf}(ax)=\mathrm{erf}(ax/\sqrt A)$$
$$e^{\frac{\sigma^2}2\p^2}\cdot \mathrm{erf}(ax+b)=\mathrm{erf}((ax+b)/\sqrt A)$$
Weierstrass変換の積分表示から
$$\frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\int_{-\infty}^\infty \mathrm{erf}(ax+b)\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)dx=\mathrm{erf}\left(\frac{a\mu+b}{\sqrt{1+2a^2\sigma^2}}\right)$$

を得る。

投稿日:20231116

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赤げふ
赤げふ
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東工大情報理工B3 数学,理論物理,Minecraft計算機/微分演算子の記事を書きます/主に表現論,量子群,物理の数理に興味があります

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