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Lindemann-Weierstrassの定理は意外と難しくない

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この記事では次の定理を証明します.

Lindemann-Weierstrass

α1,,αnを相異なる代数的数とするとeα1,,eαnQ上線型独立である.

この定理を01に適用するとeの超越性が分かり、0πiに適用すると(背理法により)πの超越性が分かります.素晴らしい定理ですね!

本記事の証明は子葉さんによる解説記事
リンデマン・ワイエルシュトラスの定理 | Mathlog
のものと本質的に同じですが,代数的整数論の基礎的な知識を使うことで少し見通しよくしたつもりです.

問題の言い換え

まずは定理1を代数的な言葉で言い換えて整理することから始めましょう.KCに含まれるQの有限次Galois拡大体とします.定理1を示すには、相異なる元α1,,αnKに対してeα1,,eαnK上線型独立であることを示せば十分です.というのも、QはこのようなKの和集合になっているからです.そこで以下ではこのようなKを1つ固定して考えることにします.

OK上の「Kの加法群」の群環をOK[K]で表し、αKに対応するOK[K]の元を[α]で表すことにします.すると
exp:OK[K]C; [α]eα
というOK代数の準同型が存在します.この写像を用いると,示したいことは次のように簡潔に言い表せます.

exp:OK[K]Cは単射である.

そこでOK[K]についてもう少し詳しく調べてみます.

OK[K]は整域である.

正整数m,nおよびc1,,cm,d1,,dnOK{0}に対して
(c1[α1]++cm[αm])(d1[β1]++dn[βn])0
であることを示せばよい.Kの加法群に全順序Abel群の構造を入れる(例えば実部と虚部の対に関する辞書式順序).一般性を失わずにα1>>αm, β1>>βnと仮定してよい.このとき上式左辺を展開したときの[α1+β1]の係数はc1d10なのでよい.

次にOK[K]へのGalois群の作用を考えましょう.GK/QのGalois群とすると、GOK[K]への左作用が
σ(c[α])=σ(c)[σ(α)]   (c,αK, σG)
により定まります.写像Nm:OK[K]OK[K]G
Nm(ω)=σGσ(ω)
により定めます.ωOK[K]expの核に属していたとすると、Nm(ω)expの核に属します.もしこの状況でNm(ω)=0が示せれば、命題3よりω=0となってexpの単射性が分かります.以上より、定理2を示す上ではG不変な元のみ考えれば十分です:

(定理2と同値)

exp:OK[K]GCは単射である.

証明

多項式fK[x]およびαKに対して
f[α]=f(α)+f(α)+f(α)+
と定めます(多項式は何回か微分すると0になるので右辺は有限和になります).また
Sf(α)=eα0αf(z)ezdzC
と定めます(Cauchyの積分定理より積分路の取り方に依りません).これらの間には次のような関係があります.

eαf[0]f[α]=Sf(α).

次のように部分積分を繰り返せばよい.
0αf(z)ezdz=[f(z)ez]0α+[f(z)ez]0α+=(f(0)+f(0)+)eα(f(α)+f(α)+)=f[0]eαf[α].

この命題より,Sf(α)が小さくなるようなfをうまく選ぶと,eαf[α]/f[0]により近似することができます.特にf[0],f[α]が整数となるようにすれば,eαの有理数近似が得られます.このような都合の良い多項式fの存在を保証するのが次の「近似補題」です.

近似補題

α1,,αnKを相異なる元とし,ε>0とする.絶対ノルムが十分大きい素イデアルpOKに対し,以下を満たす多項式fK[x]が存在する:

  1. 任意のiおよびσGに対して|Sfσ(σ(αi))|<ε.
  2. f[α1]OKp, f[α2],,f[αn]p.

ただしfσfの係数にσを作用させたものである.

pの下にある素数をpとする.αi=βi/m(βiOK,mZ)と表す.pの絶対ノルムが十分大きいという仮定より,mα1βjp(2jn)としてよい.このとき多項式
f(x)=(mxβ1)p1(mxβ2)p(mxβn)p(p1)!
が条件(1), (2)を満たすことを示そう.
(1) 0σ(αi)を結ぶ線分上の|(mxσ(β1))(mxσ(βn))|の最大値をMとすると、Sfσ(σ(αi))の絶対値は|σ(αi)|Mp(p1)!の定数倍で上から抑えられる.pが十分大きければこの値はε未満になる.
(2) f[x]
f[x]=i1=0in=0((mxβ1)p1)(i1)((mxβ2)p)(i2)((mxβn)p)(in)(p1)!
と表せる.x=α1を代入するとi1p1の項は0となり、i1=p1の項はi2==in=0の項を除いてpに属する.i1=p1かつi2==in=0の項は,mα1βjp(2jn)よりOKpに属する.以上よりf[α1]OKpである.また上の式にx=αj(2jn)を代入するとijpの項は0となり、ij=pの項は全てpに属するのでf[αj]pとなる.

また次のような代数的整数の基本的な性質を思い出しておきます.これは「絶対値が1未満の整数は0に限られる」という事実の一般化です.

代数的整数の離散性

以下を満たす定数ρ>0が存在する:

  • aOKが任意のσGに対して|σ(a)|<ρを満たすならばa=0である.

いよいよ定理4を示します.

OK[K]G0でない元ω=c1[α1]++cn[αn]を取り、exp(ω)=0と仮定して矛盾を導く.一般性を失わずにc10としてよい.ωG不変なので任意のσGに対してexp(σ(ω))=0、つまり
σ(c1)eσ(α1)++σ(cn)eσ(αn)=0
が成り立つ.この関係式から矛盾を導こう.実数ε>0および絶対ノルムが十分大きい素イデアルpを取る.このときc1pとなるようにしておく.これらと元α1,,αnに近似補題を適用して多項式fK[x]を定める.すると命題5より,eσ(αi)の有理数近似
|eσ(αi)fσ[0]fσ[σ(αi)]|<ε
が得られる.σ(ci)を掛けてiについて和を取ると
|σ(icif[αi])|<i|σ(ci)|ε
となる.εは任意に小さく取れるので,代数的整数の離散性より
icif[αi]=0
となる.これはc1p,f[α1]pかつf[α2],,f[αn]pであることに矛盾している.

投稿日:2021322
更新日:20241025
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J_Koizumi
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