Lindemann-Weierstrassの定理は意外と難しくない
この記事では次の定理を証明します．
$\alpha_1,\dots,\alpha_n$を相異なる代数的数とすると$e^{\alpha_1},\dots,e^{\alpha_n}$は$\overline{\mathbb{Q}}$上線型独立である．
この定理を$0$と$1$に適用すると$e$の超越性が分かり、$0$と$\pi i$に適用すると（背理法により）$\pi$の超越性が分かります．素晴らしい定理ですね！
本記事の証明は子葉さんによる解説記事
リンデマン・ワイエルシュトラスの定理 | Mathlog
のものと本質的に同じですが，代数的整数論の基礎的な知識を使うことで少し見通しよくしたつもりです．
問題の言い換え
まずは定理1を代数的な言葉で言い換えて整理することから始めましょう．$K$を$\mathbb{C}$に含まれる$\mathbb{Q}$の有限次Galois拡大体とします．定理1を示すには、相異なる元$\alpha_1,\dots,\alpha_n\in K$に対して$e^{\alpha_1},\dots,e^{\alpha_n}$が$K$上線型独立であることを示せば十分です．というのも、$\overline{\mathbb{Q}}$はこのような$K$の和集合になっているからです．そこで以下ではこのような$K$を1つ固定して考えることにします．
$\mathcal{O}_K$上の「$K$の加法群」の群環を$\KK$で表し、$\alpha\in K$に対応する$\KK$の元を$[\alpha]$で表すことにします．すると
$$\exp\colon \KK\to \mathbb{C};~[\alpha]\mapsto e^\alpha$$
という$\mathcal{O}_K$代数の準同型が存在します．この写像を用いると，示したいことは次のように簡潔に言い表せます．
$\exp\colon \KK\to \mathbb{C}$は単射である．
そこで$\KK$についてもう少し詳しく調べてみます．
$\KK$は整域である．
正整数$m,n$および$c_1,\dots,c_m,d_1,\dots,d_n\in \mathcal{O}_K\setminus\{0\}$に対して
$$
(c_1[\alpha_1]+\dots+c_m[\alpha_m])(d_1[\beta_1]+\dots+d_n[\beta_n])\neq 0
$$
であることを示せばよい．$K$の加法群に全順序Abel群の構造$\leq$を入れる（例えば実部と虚部の対に関する辞書式順序）．一般性を失わずに$\alpha_1>\dots>\alpha_m,~\beta_1>\dots>\beta_n$と仮定してよい．このとき上式左辺を展開したときの$[\alpha_1+\beta_1]$の係数は$c_1d_1\neq 0$なのでよい．
次に$\KK$へのGalois群の作用を考えましょう．$G$を$K/\mathbb{Q}$のGalois群とすると、$G$の$\KK$への左作用が
$$
\sigma(c[\alpha])=\sigma(c)[\sigma(\alpha)]~~~(c,\alpha\in K,~\sigma\in G)
$$
により定まります．写像$\Nm\colon \KK\to \KK^G$を
$$
\Nm(\omega)=\prod_{\sigma\in G}\sigma (\omega)
$$
により定めます．$\omega\in \KK$が$\exp$の核に属していたとすると、$\Nm(\omega)$も$\exp$の核に属します．もしこの状況で$\Nm(\omega)=0$が示せれば、命題3より$\omega=0$となって$\exp$の単射性が分かります．以上より、定理2を示す上では$G$不変な元のみ考えれば十分です：
$\exp\colon \KK^G\to \mathbb{C}$は単射である．
証明
多項式$f\in K[x]$および$\alpha\in K$に対して
$$
f[\alpha]=f(\alpha)+f'(\alpha)+f''(\alpha)+\cdots
$$
と定めます（多項式は何回か微分すると$0$になるので右辺は有限和になります）．また
$$
S_f(\alpha)=e^\alpha \int_0^\alpha f(z)e^{-z}dz\in \mathbb{C}
$$
と定めます（Cauchyの積分定理より積分路の取り方に依りません）．これらの間には次のような関係があります．
$e^\alpha f[0]-f[\alpha] = S_f(\alpha).$
次のように部分積分を繰り返せばよい．
\begin{align*}
\int_0^\alpha f(z)e^{-z}dz&=\bigl[-f(z)e^{-z}\bigr]^\alpha_0+\bigl[-f'(z)e^{-z}\bigr]_0^\alpha+\dots\\
&=(f(0)+f'(0)+\dots)-e^{-\alpha}(f(\alpha)+f'(\alpha)+\dots)\\
&=f[0]-e^{-\alpha}f[\alpha].
\end{align*}
この命題より，$S_f(\alpha)$が小さくなるような$f$をうまく選ぶと，$e^\alpha$は$f[\alpha]/f[0]$により近似することができます．特に$f[0],f[\alpha]$が整数となるようにすれば，$e^\alpha$の有理数近似が得られます．このような都合の良い多項式$f$の存在を保証するのが次の「近似補題」です．
$\alpha_1,\dots,\alpha_n\in K$を相異なる元とし，$\varepsilon>0$とする．絶対ノルムが十分大きい素イデアル$\p\subset \Ocal_K$に対し，以下を満たす多項式$f\in K[x]$が存在する：
- 任意の$i$および$\sigma\in G$に対して$|S_{f^\sigma}(\sigma(\alpha_i))|<\varepsilon$.
- $f[\alpha_1]\in \Ocal_K\setminus \p$, $f[\alpha_2],\dots,f[\alpha_n]\in \p$.
ただし$f^\sigma$は$f$の係数に$\sigma$を作用させたものである．
$\p$の下にある素数を$p$とする．$\alpha_i=\beta_i/m\;(\beta_i\in \Ocal_K,\;m\in \mathbb{Z})$と表す．$\mathfrak{p}$の絶対ノルムが十分大きいという仮定より，$m\alpha_1-\beta_j\not\in \p\;(2\leq j\leq n)$としてよい．このとき多項式
$$
f(x)=\frac{(mx-\beta_1)^{p-1}(mx-\beta_2)^p\dots(mx-\beta_n)^p}{(p-1)!}
$$
が条件(1), (2)を満たすことを示そう．
(1) $0$と$\sigma(\alpha_i)$を結ぶ線分上の$|(mx-\sigma(\beta_1))\dots(mx-\sigma(\beta_n))|$の最大値を$M$とすると、$S_{f^\sigma}(\sigma(\alpha_i))$の絶対値は$\dfrac{|\sigma(\alpha_i)|M^p}{(p-1)!}$の定数倍で上から抑えられる．$p$が十分大きければこの値は$\varepsilon$未満になる．
(2) $f[x]$は
$$
f[x]=\sum_{i_1=0}^\infty\cdots\sum_{i_n=0}^\infty \frac{((mx-\beta_1)^{p-1})^{(i_1)}((mx-\beta_2)^p)^{(i_2)}\dots((mx-\beta_n)^p)^{(i_n)}}{(p-1)!}
$$
と表せる．$x=\alpha_1$を代入すると$i_1\neq p-1$の項は$0$となり、$i_1=p-1$の項は$i_2=\dots=i_n=0$の項を除いて$\p$に属する．$i_1=p-1$かつ$i_2=\cdots=i_n=0$の項は，$m\alpha_1-\beta_j\not\in \p\;(2\leq j\leq n)$より$\Ocal_K\setminus \p$に属する．以上より$f[\alpha_1]\in \Ocal_K\setminus \p$である．また上の式に$x=\alpha_j\;(2\leq j\leq n)$を代入すると$i_j\neq p$の項は$0$となり、$i_j=p$の項は全て$\p$に属するので$f[\alpha_j]\in\p$となる．
また次のような代数的整数の基本的な性質を思い出しておきます．これは「絶対値が1未満の整数は0に限られる」という事実の一般化です．
以下を満たす定数$\rho>0$が存在する：
- $a\in \Ocal_K$が任意の$\sigma\in G$に対して$|\sigma(a)|<\rho$を満たすならば$a=0$である．
いよいよ定理4を示します．
$\KK^G$の$0$でない元$\omega=c_1[\alpha_1]+\dots+c_n[\alpha_n]$を取り、$\exp(\omega)=0$と仮定して矛盾を導く．一般性を失わずに$c_1\neq 0$としてよい．$\omega$は$G$不変なので任意の$\sigma\in G$に対して$\exp(\sigma(\omega))=0$、つまり
$$
\sigma(c_1)e^{\sigma(\alpha_1)}+\dots+\sigma(c_n)e^{\sigma(\alpha_n)}=0
$$
が成り立つ．この関係式から矛盾を導こう．実数$\varepsilon>0$および絶対ノルムが十分大きい素イデアル$\p$を取る．このとき$c_1\not\in \p$となるようにしておく．これらと元$\alpha_1,\dots,\alpha_n$に近似補題を適用して多項式$f\in K[x]$を定める．すると命題5より，$e^{\sigma(\alpha_i)}$の有理数近似
$$
\bigl|e^{\sigma(\alpha_i)} f^\sigma[0]-f^\sigma[\sigma(\alpha_i)]\bigr| < \varepsilon
$$
が得られる．$-\sigma(c_i)$を掛けて$i$について和を取ると
$$
\left|\sigma\left(\sum_i c_if[\alpha_i]\right)\right| < \sum_i|\sigma(c_i)|\varepsilon
$$
となる．$\varepsilon$は任意に小さく取れるので，代数的整数の離散性より
$$\sum_ic_if[\alpha_i]=0$$
となる．これは$c_1\not\in \mathfrak{p},\;f[\alpha_1]\not\in \p$かつ$f[\alpha_2],\dots,f[\alpha_n]\in \p$であることに矛盾している．
