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るめなるさんの問題の証明

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{div}[0]{\mathrm{div}} \newcommand{division}[0]{÷} \newcommand{grad}[0]{\mathrm{grad}\ } \newcommand{intt}[0]{\int_0^{\infty}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{rot}[0]{\mathrm{rot}\ } \newcommand{summ}[0]{\sum_{n=0}^{\infty}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

問題$$ \int _0^{\infty}\frac{xe^x}{\sinh x \cosh x}dx $$

るめなるさん PDF の演習問題2の証明です( 解説 )。
なお、$\sum$$\int$は交換できると仮定しています。また、$G$はカタラン定数$$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}$$です。

\begin{eqnarray*} \int _0^{\infty}\frac{xe^x}{\sinh x \cosh x}dx &=&\int _0^{\infty}4x\frac{e^x}{e^{2x}-e^{-2x}}dx\\ &=&\int _0^{\infty}4xe^{-x}\frac{1}{1-e^{-4x}}dx\\ &=&\int_0^{\infty}4xe^{-x}\sum_{k=0}^{\infty}e^{-4kx}dx\\ &=&4\sum_{k=0}^{\infty}\int_0^{\infty}xe^{-(4k+1)x}dx\\ &=&4\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(4k+1)^2}\int_0^{\infty}xe^{-x}dx\\ &=&4\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(4k+1)^2}\Gamma(2)\\ &=&4\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(4k+1)^2}\\ &=&4\Biggl(\frac{3}{8}\zeta(2)+\frac{1}{2}G\Biggr)\\ &=&\frac{3}{2}\frac{\pi^2}{6}+2G\\ &=&\frac{\pi^2}{4}+2G\\ \end{eqnarray*}

投稿日:2021325

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見る専

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