るめなるさんの問題の証明
問題$$ \int _0^{\infty}\frac{xe^x}{\sinh x \cosh x}dx $$
るめなるさん
の
PDF
の演習問題2の証明です(
解説
)。
なお、$\sum$と$\int$は交換できると仮定しています。また、$G$はカタラン定数$$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}$$です。
\begin{eqnarray*} \int _0^{\infty}\frac{xe^x}{\sinh x \cosh x}dx &=&\int _0^{\infty}4x\frac{e^x}{e^{2x}-e^{-2x}}dx\\ &=&\int _0^{\infty}4xe^{-x}\frac{1}{1-e^{-4x}}dx\\ &=&\int_0^{\infty}4xe^{-x}\sum_{k=0}^{\infty}e^{-4kx}dx\\ &=&4\sum_{k=0}^{\infty}\int_0^{\infty}xe^{-(4k+1)x}dx\\ &=&4\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(4k+1)^2}\int_0^{\infty}xe^{-x}dx\\ &=&4\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(4k+1)^2}\Gamma(2)\\ &=&4\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(4k+1)^2}\\ &=&4\Biggl(\frac{3}{8}\zeta(2)+\frac{1}{2}G\Biggr)\\ &=&\frac{3}{2}\frac{\pi^2}{6}+2G\\ &=&\frac{\pi^2}{4}+2G\\ \end{eqnarray*}