問題∫0∞xexsinhxcoshxdx
るめなるさん の PDF の演習問題2の証明です( 解説 )。なお、∑と∫は交換できると仮定しています。また、Gはカタラン定数∑k=0∞(−1)k(2k+1)2です。
∫0∞xexsinhxcoshxdx=∫0∞4xexe2x−e−2xdx=∫0∞4xe−x11−e−4xdx=∫0∞4xe−x∑k=0∞e−4kxdx=4∑k=0∞∫0∞xe−(4k+1)xdx=4∑k=0∞1(4k+1)2∫0∞xe−xdx=4∑k=0∞1(4k+1)2Γ(2)=4∑k=0∞1(4k+1)2=4(38ζ(2)+12G)=32π26+2G=π24+2G
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